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Algorithmic analysis of presentations of groups and modules = Algorithmische Analyse von Präsentationen von Gruppen und Moduln



Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Anna Wiktoria Fabianska

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2009

Umfang182 S.


Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2009

Zsfassung in dt. Sprache


Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter


Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2009-07-31

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-29500
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/51284/files/Fabianska_Anna.pdf

Einrichtungen

  1. Lehrstuhl B für Mathematik (114410)
  2. Fachgruppe Mathematik (110000)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Freier Modul (Genormte SW) ; Projektiver Modul (Genormte SW) ; Endlich darstellbare Gruppe (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Quillen (frei) ; Suslin (frei) ; Typ-L2 (frei) ; PSL (frei) ; endlich präsentierte Gruppe (frei) ; L2-type (frei) ; finitely presented group (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In dieser Arbeit wird der Janet-Algorithmus zur Behandlung von Polynomsystemen zur Lösung zweier algebraischer Probleme angewandt:1. der expliziten Konstruktion einer Basis eines freien Modules über Polynomringen im Sinne des Satzes von Quillen und Suslin,2. der Bestimmung aller endlichen L_2-Faktorgruppen endlich präsentierten Gruppen.Der Schwerpunkt der Arbeit liegt in den konstruktiven Aspekten aller betrachteter Probleme und in der Entwicklung von entsprechenden Methoden und Algorithmen. Zusätzlich zur Theorie werden zwei die Arbeit begleitende Maple-Pakete, QuillenSuslin und PSL, vorgestellt. Das erste Kapitel behandelt algorithmische Berechnungsmethoden für polynomiale Systeme mit ganzen Koeffizienten. Zum Beispiel wird hier für ein gegebenes Ideal des Polynomringes über Z die Konstruktion eines es umfassenden maximalen Ideals sowie die Konstruktion aller minimalen assozierten Primidealen vorgestellt. Das zweite Kapitel ist dem Satz von Quillen und Suslin gewidmet. Ein algorithmischer Beweis dieses Satzes wird gegeben. Insbesondere ein Algorithmus zur Berechnung einer Basis eines freien Moduls über dem Polynomring mit Koeffizienten in einem Hauptidealbereich wird vorgestellt. Das Problem wird in der Sprache der unimodularen Matrizen ausgedrückt: Die Bestimmung einer Basis eines freien Moduls kann als Ergänzung einer unimodularen Matrix zur einer quadratischen invertierbaren Matrix formuliert werden. Der allgemeine induktive Algorithmus wurde mit neuen heuristischen Methoden ausgestattet, die es ermöglichen, den längeren induktiven Weg in vielen Fällen zu umgehen bzw. zu verkürzen. Die vorgestellten Methoden wurden in dem Maple-Paket QuillenSuslin implementiert. Zum Schluss werden einige Anwendungen des Satzes von Quillen und Suslin (präziser, der Möglichkeit eine konstruktive Basisbestimmung für einen freien Modul durchzuführen) in der Systemtheorie sowie in der algebraischen Geometrie präsentiert. Eine sehr große Sammlung von Beispielen, die die Anwendung des QuillenSuslin-Paketes veranschaulichen, ist im Appendix B enthalten. Das dritte Kapittel befasst sich mit der Analyse endlich präsentierter Gruppen. Eine der vielen Aufgaben die man zur einer gegebenen endlich präsentierte Gruppe stellen kann, nämlich die algorithmische Entscheidung, ob G endlich ist, ist bekanntermaßen in Allgemeinen unlösbar. Diese Arbeit geht von endlich präsentierten Gruppen G gegeben auf zwei und drei Erzeuger aus. Ein Algorithmus (später der L_2-Algorithmus gennant) zur Bestimmung der Anzahl aller Normalteiler N der mit der Faktorgruppe G/N von Typ L_2 wird vorgestellt. Dabei heißt eine endliche Gruppe vom Typ L_2 wenn eine Primzahl p und eine natürliche Zahl n existieren, so dass sie entweder zur PSL (2,p^n) oder zur PGL (2,p^n) isomorph ist. Die Bedeutung dieses Algorithmes liegt in der Möglichkeit, alle Faktorgruppen von Typ L_2 (also aus der großen Klasse endlichen einfachen Gruppen) einzeln zu bennenen. In dem Fall, wenn der Algorithmus unendlich viele Normalteiler vom Typ L_2 liefert, hat man für G eine starke Form eines Unendlichkeitsbeweises. Weiterhin, falls unendlich viele Primzahlen involviert sind, kann man sogar eine nicht auflösbare unendliche Matrixgruppe vom Grad 2 über einem Körper der Charakteristik 0 als ein epimorphisches Bild von G angeben. Im Allgemeinen kann man mithilfe des Begriffes Krull Dimension verschiedene Typen von Unendlichkeit unterscheiden.

In this thesis Janet's algorithm for computing bases in polynomial rings has been applied to two algebraic problems:1. the explicite basis construction in the context of the Quillen-Suslin Theorem,2. the analysis of finite group presentations, more precisely enumerating finite L_2-quotients of finitely presented groups.The emphasis has been put on the constructive aspects of all considered issues and on the development of methods and algorithms. The thesis is accompanied by two Maple-packages QuillenSuslin and PSL. The first chapter is devoted to algorithmic and computational issues concerning polynomial systems with integer coefficients such as the construction of a maximal ideal containing a given ideal or the computation of the set of all minimal associated prime ideals. In Chapter 2 an algorithmic proof of the Quillen-Suslin Theorem is given, in particular an algorithm for computing a basis of free module over a polynomial ring over principle ideal domains. The problem is represented in the language of completing unimodular matrices to square invertible matrices over a polynomial ring. The general inductive algorithm has been improved by the use of some heuristic methods. Since no working implementation carrying out the computation of a basis for a free module was available, the presented methods have been implemented in the Maple-package QuillenSuslin. At the end a few applications of the Quillen-Suslin theorem, more precisely of the actual basis computation for a free module, to system theory and to algebraic geometry are presented to demonstrate the power of the implementation. Finally, a very rich library of examples illustrating the use and applications of the QuillenSuslin package is given in Appendix B. Chapter 3 deals with the analysis of finitely presented groups. Among many questions one can ask about a given finitely presented group, the algorithmic decision whether G is finite or not, stands out as being impossible in general. This thesis gives an algorithm, which can decide (in case the number of generators is smaller than 4) whether the number of normal subgroups N of G with the quotient G/N of type L_2 is finite or infinite and is therefore called a L_2-quotient algorithm. A finite group is called to be of L_2-type, if it is isomorphic to PSL (2,p^n) or to PGL (2,p^n) for some prime number p and some natural number n. The significance of the algorithm is that for the first time one can enumerate all factor groups in a big class of finite simple groups. In case the computation yields infinitely many normal subgroups of type L_2, one has a particularly strong form of an infiniteness proof. If infinitely many primes are involved one can even exhibit a non soluble infinite matrix group of degree 2 over a field of characteristic zero as epimorphic image. In general one can even distinguish certain kinds of infiniteness by using the notion Krull dimension for commutative domains

Fulltext:
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Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis

Format
online, print

Sprache
English

Externe Identnummern
HBZ: HT016078935

Interne Identnummern
RWTH-CONV-113591
Datensatz-ID: 51284

Beteiligte Länder
Germany

 GO


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The record appears in these collections:
Document types > Theses > Ph.D. Theses
Faculty of Mathematics, Computer Science and Natural Sciences (Fac.1) > Department of Mathematics
Publication server / Open Access
Public records
Publications database
110000
114410

 Record created 2013-01-28, last modified 2022-04-22


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