Repulsive knot energies and pseudodifferential calculus : rigorous analysis and regularity theory for O'Hara's knot energy family E (alpha), alpha in [2,3)

Reiter, Philipp; von der Mosel, Heiko

doi:urn:nbn:de:hbz:82-opus-28484

Repulsive knot energies and pseudodifferential calculus : rigorous analysis and regularity theory for O'Hara's knot energy family E (alpha), alpha in [2,3) = Repulsive Knotenenergien und Pseudodifferentialkalkül : rigorose Analysis und Regularitätstheorie für O Haras Knotenenergiefamilie E (alpha), alpha in [2,3)

Reiter, Philipp (Author)

2009

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Philipp Reiter

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2009

Umfang86 S.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2009

Zusammenfassung in engl. und dt. Sprache

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
von der Mosel, Heiko (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2009-03-13

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-28484
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/51124/files/Reiter_Philipp.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Knoten <Mathematik> (Genormte SW) ; Fourier-Reihe (Genormte SW) ; Harmonische Analyse (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Knotenenergie (frei) ; bilinearer Fouriermultiplikator (frei) ; Regularitätstheorie (frei) ; Möbius-Energie (frei) ; knot energy (frei) ; bilinear Fourier multiplier (frei) ; regularity theory (frei) ; Möbius energy (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
msc: 57M25 * 53A04 * 42A45

Kurzfassung
In der vorliegenden Schrift werden Fréchet-Differenzierbarkeit und $C^infty$-Regularität kritischer Punkte für J. O'Haras Knotenfunktionale E^(alpha), $alphain[2,3)$, bewiesen. Durch das Schließen gravierender Lücken in einer Untersuchung der Möbius-Energie E^(2) von Z.-X. He gelingt ein rigoroser Beweis einer deutlich allgemeineren Aussage. Wir beginnen mit Stetigkeit von E^(alpha) auf injektiven und regulären H^2-Kurven und erhalten danach Fréchet-Differenzierbarkeit von E^(alpha). Unter anderem beruht der Beweis auf der Aussage, dass die Reparametrisierung einer Folge von Kurven nach ihrer Bogenlänge H^2-Konvergenz erhält. Zudem werden mehrere Formeln der ersten Variation hergeleitet. Der zweite Teil widmet sich dem reskalierten Funktional $ilde E = ext{Länge}^{alpha-2}E$, aus dem man mittels eines Bootstrap-Arguments $C^infty$-Regularität für kritische Punkte in $H^alphacap H^{2,3}$ erhält, die injektiv und nach Bogenlänge parametrisiert sind. Wesentliche Technik hierbei ist die Einführung von Sobolev-Räumen reeller Ordnung auf periodischen Intervallen und das Studium bilinearer Fourier-Multiplikatoren.

In this thesis, we consider J. O'Hara's knot functionals E^(alpha), $alphain[2,3)$, proving Fréchet differentiability and $C^infty$ regularity of critical points. Using some ideas of Z.-X. He and filling major gaps in his investigation of the Möbius Energy E^(2), we furnish a rigorous proof of an even more general statement. We start with proving continuity of E^(alpha) on injective and regular H^2 curves, moreover we establish Fréchet differentiability of E^(alpha). Among other things, the proof draws on the fact that reparametrization of a sequence of curves to arc-length preserves H^2 convergence. Additionally, we derive several formulae of the first variation. In the second part, we consider the rescaled functional $ilde E = ext{length}^{alpha-2}E$ establishing a bootstrap argument, which gives $C^infty$ regularity for critical points in $H^alphacap H^{2,3}$ being injective and parametrized by arc-length. The major technique is to introduce fractional Sobolev spaces on a periodic interval and to study bilinear Fourier multipliers.

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