Functional spaces : a direct approach

Barakat, Mohamed; Plesken, Wilhelm

doi:280

Functional spaces : a direct approach

Barakat, Mohamed (Author)

2001 & 2002

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Mohamed Barakat

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2001

Umfang71 S.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2001

Prüfungsjahr: 2001. - Publikationsjahr: 2002

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Plesken, Wilhelm (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2001-11-28

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-2803
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/59441/files/02_019.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Mathematik (frei) ; Funktionalraum (frei) ; Lie-Ableitung (frei) ; Vektorfeld (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In dieser Arbeit definiere ich die sogenannten Funktionaltensorräume und bestimme für jeden dieser Räume die Lie-Ableitung bezüglich verallgemeinerten Vektorfeldern. Das stattet diese Räume mit einer Lie-Modulstruktur über die Lie-Algebra der verallgemeinerten Vektorfelder aus. Unter Benutzung der Cartan-Formel konstruiere ich rekursiv die Euler-Sequenz und gebe die ersten drei Operatoren explizit an. Den dritten Operator nenne ich Takens Operator. Dann, und im Kontext der Funktionalräume, beweise ich, da die Hamiltonsche Struktur einer Evolutionsgleichung invariant unter dem Flu der Gleichung ist, und benutze dies, um alle Hamiltonschen Strukturen (bis zu einer gewissen Ordnung) der KdV Gleichung und der Boussinesq Gleichung auszurechnen. Das sind bekannte Beispiele für nichtlineare vollständig integrable Evolutionsgleichungen.

In this thesis I define the notion of a functional tensor space, and derive the specific form of the Lie derivative (w.r.t. generalized vector fields) on the constructed spaces, giving them a Lie module structure over the Lie algebra of generalized vector fields. I also construct the Euler complex in a recursive manner using the celebrated Cartan formula, and write down the first three operators explicitly. I call the third one, the Takens operator. Then, in the context of functional spaces, I prove and use the fact, that a Hamiltonian structure of an evolution equation is invariant under the flow of the equation, to derive all Hamiltonian structures (up to a certain order) of KdV equation and the Boussinesq equation. These are well known examples for nonlinear completely integrable evolution equations.

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