Quasistationarität und fast-invariante Mengen gewöhnlicher Differentialgleichungen

Nöthen, Anna Lena; Walcher, Sebastian

doi:urn:nbn:de:hbz:82-opus-26589

Quasistationarität und fast-invariante Mengen gewöhnlicher Differentialgleichungen = Photorespiration in Arabidopsis thaliana

Nöthen, Anna Lena (Author)

2008 & 2009

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Anna Lena Nöthen

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2008

Umfang194 S.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2008

Prüfungsjahr: 2008. - Publikationsjahr: 2009

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Walcher, Sebastian (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2008-12-17

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-26589
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/50573/files/Noethen_Lena.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Chemische Reaktion (Genormte SW) ; Langzeitverhalten (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Fast-Invarianz (frei) ; Michaelis-Menten-Kinetik (frei) ; Quasistationarität (frei) ; singuläre Störungstheorie (frei) ; chemical reaction (frei) ; long-term behaviour (frei) ; Michaelis-Menten-kinetics (frei) ; near-invariance (frei) ; quasi-steady state (frei) ; singular perturbation theory (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, den biochemisch motivierten Begriff der Quasistationarität mathematisch zu fassen und zu untersuchen. In Kapitel 1 wird der Begriff der Quasistationarität im Zusammenhang mit chemischen Reaktionen vorgestellt und an Beispielen, insbesondere der Michaelis-Menten-Reaktion, erläutert. Es wird ein erster Überblick gegeben, welche Ansätze zur mathematischen Analyse gegebener Differentialgleichungssysteme chemischer Reaktionen für diese Arbeit relevant sind. Kapitel 2 stellt Ansätze der singulären Störungstheorie, insbesondere das Theorem von Tikhonov, vor. Ist ein Differentialgleichungssystem von spezieller Gestalt gegeben, das von einem kleinen Parameter abhängt, so liefert Tikhonovs Theorem (asymptotisch) eine Reduktion auf kleinere Dimension. Eine Vertiefung und Erweiterung dieser Aussage wird von Fenichel geliefert. Die Anwendung der Theorien ist für chemische Systeme nicht unproblematisch, da eben diese selten in der gewünschten speziellen Gestalt gegeben sind und zusätzlich der kleine Parameter chemisch motiviert sein sollte. Es folgt die Vorstellung der iterativen Methode nach Fraser und Roussel, welche eine invariante Mannigfaltigkeit approximiert, auf die die Differentialgleichung reduziert werden kann. Das Ausgangssystem stimmt mit der Standardform der singulären Störungstheorie überein. Das Kapitel schließt mit den Methoden von Heinrich und Schauer (bzw. Stiefenhofer), welche bei Einteilung einer Reaktion in langsame und schnelle Teilreaktionen eine Transformation des Differentialgleichungssystem ausführen, um anschließend die Reduktion nach Tikhonov zu erhalten. Keine der vorgestellten Methoden ist besonders geeignet für eine systematische Behandlung der Quasistationarität. In Kapitel 3 wird der chemische Begriff der Quasistationarität mit dem der Fast-Invarianz verknüpft. Wir erhalten eine systematische Methode, die, ausgehend von einer biochemisch motivierten Vermutung, lokal notwendige Parameterkonstellationen für quasistationäres Verhalten ermittelt und so „kleine Parameter” bestimmt. Diese Bedingungen erhalten wir mittels einer fast-invarianten Menge. Es werden außerdem verschiedene Reduktionsmöglichkeiten vorgestellt, welche über die Quasistationarität motiviert sind. Die iterative Methode des Kapitels 2 wird aus Sicht der Fast-Invarianz noch einmal aufgegriffen. Kapitel 4 untersucht das Langzeitverhalten der Lösungen. Wenn wir chemische Reaktionen untersuchen, stellt sich in sehr vielen Fällen im Grenzwert ein dynamisches Gleichgewicht ein, das sich mathematisch durch einen stationären Punkt im Differentialgleichungssystem widerspiegelt. Es wird gezeigt, dass das Langzeitverhalten im asymptotisch stabilen stationären Punkt einzig von der linearisierten Form bestimmt wird. Exemplarisch wird untersucht, ob das Langzeitverhalten zur fast-invarianten Menge aus Kapitel 3 passt. Schließlich wird in Kapitel 5 gezeigt, wie die Theorie von Tikhonov und Fenichel für chemische Reaktionssysteme mit Quasistationaritäts-Annahme angewendet werden kann. Wir benötigen einen kleinen Parameter, der etwa mit Hilfe der fast-invarianten Mengen aus Kapitel 3 bestimmt wird. Es wird gezeigt, wie eine Transformation aussehen muss, um ein aus dem Reaktionssystem gegebenes System in der Standardform der singulären Störungstheorie zu erhalten. Die Voraussetzungen für die Anwendbarkeit von Tikhonov und Fenichel können geprüft und ggf. ein reduziertes System bestimmt werden. Die Motivation des Vorgehens ist der Betrachtungsweise von Heinrich und Schauer aus Kapitel 2 entnommen. Die Formulierung hier ist jedoch allgemeiner und der Anwendungsbereich größer, insbesondere ist die Ausweitung auf quasistationäres Verhalten enthalten. Mit diesem Ansatz werden die lokalen Aussagen aus Kapitel 3 zu globalen Aussagen. Einige Beispiele illustrieren den systematischen Ansatz.

The objective of the present paper is to analyse the concept of quasi-stationarity, which is motivated from bio-chemistry, and to investigate it from a matematical perspective. In Chapter 1 the concept of quasi-stationarity is presented in the context of chemical reactions. Examples, particularly the Michaelis-Menten-reaction, are given. We then give a first overview of relevant approaches to analyse given differential equation systems for chemical reactions. Chapter 2 presents approaches via singular perturbation theory, particularly Tikhonov's theorem. Given a differential equation system of particular form, which depends on a small parameter, then Tikhonov's theorem provides (asymptotically) a reduction to smaller dimension. Fenichel's theorem deepens this result in a broader context. The application of these theories to chemical systems is not without problems as these systems generally do not appear in the specific form required. Moreover the small parameter should be motivated from chemical consideration. Next, we present an iterative method due to Fraser and Roussel who approximate an invariant manifold for a reduction of the differential equation. Their original system is in standard form for application of singular perturbation theory. Chapter 2 concludes with the methods of Heinrich and Schauer (resp. Stiefenhofer) for reacting systems split up into slow and fast reactions. They perform a transformation of the differential equation to obtain the reduction via Tikhonov. None of the methods presented above is particularly appropriate for a systematic analysis of quasi-stationarity. In Chapter 3 the chemical notion of quasi-stationarity is combined with the concept of near-invariance. We obtain a method which, starting from a biochemically motivated assumption, provides locally necessary conditions on the parameters for quasi-steady state behaviour. These conditions can be determined by using the near-invariance of a certain set. In addition "small parameters" can be detected. Moreover various approaches to reduction are presented which are motivated by quasi-stationarity. The iterative method of Chapter 2 is discussed again, now from the perspective of near-invariance. In Chapter 4 we analyse the long-term behaviour of solutions. For chemical reactions we frequently find a dynamical equilibrium in the limit. Mathematically this equilibrium is reflected by a stationary point in the differential equation system. It will be shown that the long-term behaviour in an asymptotically stable stationary point is determined by the linear part alone. In examples we analyse whether the long-term behaviour is consistent with the nearly-invariant set discussed in Chapter 3. Finally in Chapter 5 we discuss how the theory of Tikhonov and Fenichel can be applied to chemical reaction systems with a quasi-steady state assumption. Identifying a small parameter is essential, and this can be done via nearly-invariant sets as discussed in Chapter 3. Then we show how a transformation should be designed to obtain from a given system a system in standard form of singular perturbation theory. Conditions for applicability of Tikhonov and Fenichel can be tested and, if applicable, a reduced system can be identified. The motivation for this approach goes back to Heinrich and Schauer as outlined in Chapter 2. However, the formulation here is more general and the range of applications is larger, particularly by including quasi-steady state behaviour. With this approach the local statements from Chapter 3 are becoming global statements. We illustrate this systematic approach by considering several examples.

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