Über die Elementarteiler der Inzidenzmatrix des Ree-Unitals

Ringe, Christian; Hiß, Gerhard

doi:2421

Über die Elementarteiler der Inzidenzmatrix des Ree-Unitals = On the elementary divisors of the incidence matrix of the Ree unital

Ringe, Christian (Author)

2008

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Christian Ringe

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2008

Umfang153 S. : graph. Darst.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2008

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Hiß, Gerhard (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2008-05-28

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-24219
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/50108/files/Ringe_Christian.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Modultheorie (Genormte SW) ; Darstellungstheorie (Genormte SW) ; Algebraischer Funktionenkörper (Genormte SW) ; Möbius-Ebene (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Ree-Gruppe (frei) ; Ree-Unital (frei) ; Ree group (frei) ; Ree unital (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Das Ree-Unital ist ein gewisses 2-Design, welches die Ree-Gruppe G:=R(q) zum Parameter q (wobei q eine Potenz von 3 mit ungeradem Exponenten ist) als Gruppe von Design-Automorphismen besitzt. Wir untersuchen die Elementarteiler der Inzidenzmatrix des Ree-Unitals. Die genannten Elementarteiler codieren die Struktur einer endlichen abelschen Gruppe. Um diese Gruppe strukturell zu bestimmen, wenden wir Methoden der Modultheorie und der modularen Darstellungstheorie an. Eine vollständige Bestimmung der Struktur dieser abelschen Gruppe gelingt im Allgemeinen nicht. Jedoch können wir die Anzahl der möglichen 2-Komponenten dieser Gruppe auf drei reduzieren. In einigen Fällen gelingt eine vollständige Bestimmung der Komponenten ungerader Ordnung. Ein weiterer Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit einem Funktionenkörper F über Fq (wobei Fq der endliche Körper mit q Elementen ist), welcher die Ree-Gruppe G als volle Fq-Automorphismengruppe besitzt. Es gelingt der Nachweis, dass die Fq-rationalen Stellen von F mit den Punkten des Ree-Unitals identifizierbar sind, und dass die Menge der Fq-rationalen Stellen zusammen mit der Operation von G ein Modell des Ree-Unitals bildet. Wir untersuchen die zu F gehörende Gruppe D0 von Divisorenklassen vom Grad 0 und einige ihrer mit dem Ree-Unital zusammenhängenden Untergruppen. Dabei wenden wir ebenfalls Methoden aus der modularen Darstellungstheorie an. Eine vollständige Bestimmung der Struktur von D0 misslingt. Jedoch können wir in einigen Fällen die Komponenten ungerader Ordnung von D0 vollständig bestimmen. Im Fall des kleinsten Ree-Unitals, d.h. im Fall q=3, können wir alle diese Fragen vollständig beantworten. Dazu verwenden wir auch die Ergebnisse maschineller Rechnungen. Im letzten Kapitel dieser Dissertation beschäftigen wir uns mit gewissen 3-Designs, den Möbius-Ebenen. Wir wenden einige der Methoden aus vorangegangenen Kapiteln dieser Arbeit auf diese Situation an. In den betrachteten Fällen gelingt eine vollständige Bestimmung der Elementarteiler der jeweiligen Inzidenzmatrix.

The Ree unital is a certain 2-design which admits the Ree group G:=R(q) of parameter q (where q is a power of 3 with odd exponent) as a group of design-automorphisms. We investigate the elementary divisors of the incidence matrix of the Ree unital. The elementary divisors mentioned above reflect the structure of a finite abelian group. In order to determine the structure of this group, we apply some methods of module theory and of modular representation theory. A complete determination of the structure fails in the general case. However, we can reduce the number of possibilities for the 2-component to three. In certain cases we succeed in completely determining the components of odd order. Another part of this thesis deals with a function field F over Fq (where Fq is the finite field with q elements), which admits the Ree group G as full Fq-automorphism group. We succeed in proving that we can identify the Fq-rational places of F with the points of the Ree unital, and that the set of Fq-rational places with the operation of G provides a model of the Ree unital. We investigate the group D0 of divisor classes of degree 0 of F and some of its subgroups related to the Ree unital. For this purpose we also apply some methods of modular representation theory. A complete determination of the structure of D0 fails. However, we can determine the components of odd order of D0 in some cases. In case of the smallest Ree unital, that is in case q=3, we can completely answer all these questions. In order to do this, we apply some results of computer calculations. The last chapter of this dissertation deals with certain 3-designs, the Moebius planes (also known as inversive planes). We apply some methods of preceding chapters of this thesis to this situation. In all the investigated cases we succeed in completely determining the elementary divisors of the respective incidence matrix.

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