Formal computational methods for control theory

Robertz, Daniel; Plesken, Wilhelm

doi:27377

Formal computational methods for control theory

Robertz, Daniel (Author)

2006

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Daniel Robertz

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2006

UmfangIV, 203 S.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2006

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Plesken, Wilhelm (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2006-06-20

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-15866
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/61055/files/Robertz_Daniel.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Mathematik (frei) ; Differentialalgebra (frei) ; Computeralgebra (frei) ; Kontrolltheorie (frei) ; Algebraische Systemtheorie (frei) ; Algebraic Analysis of Linear Systems (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Diese Arbeit behandelt die algebraische Analyse von strukturellen Eigenschaften von Kontrollsystemen, z.B. die Steuerbarkeit und die Parametrisierbarkeit ihres Verhaltens. Beiträge dieser Arbeit sind die folgenden formalen rechnerischen Methoden. Der Janet-Algorithmus wird auf Ore-Algebren erweitert, die für systemtheoretische Anwendungen von Interesse sind. Die verallgemeinerte Hilbert-Reihe, welche eine Vektorraumbasis eines endlich präsentierten Moduls über einer Ore-Algebra aufzählt, wird eingeführt. Weiter wird eine Methode zur Linearisierung von Differentialgleichungen präsentiert, die unabhängig von einer gewählten Trajektorie ist. Diese generische Linearisierung liefert ein lineares Differentialgleichungssystem mit nicht-konstanten Koeffizienten, für welche die ursprünglichen nicht-linearen Gleichungen erzeugende Relationen sind. Deshalb wird ein rechnerisches Verfahren zur Behandlung dieser Gleichungen unter Benutzung des Jet-Formalismus und differentiellen Ringen erläutert. Der algebraische Zugang zur Systemtheorie, der in dieser Arbeit benutzt wird, ordnet jedem linearen System einen Modul über einem Ring zu, der gemäß des Typs der gegebenen Gleichungen gewählt wird (z.B. gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen, Differenzengleichungen, retardierte Differentialgleichungen etc.).Die Genauigkeit, in der strukturelle Eigenschaften des Lösungsraums des linearen Systems durch den Modul wiedergegeben werden, hängt von der Wahl des Raumes der zulässigen Funktionen ab. Eine eineindeutige Beziehung von homologischen Kriterien besteht für Funktionenräume, die injektive Kogeneratoren sind. In dieser Arbeit wird ein injektiver Kogenerator für jede Ore-Algebra angegeben, die für die systemtheoretischen Anwendungen relevant ist.Anschließend wird die Möglichkeit, den Lösungsraum eines linearen Systems zu parametrisieren, genauer untersucht. Eine Erweiterung der bekannten Theorie auf lineare Systeme, welche nicht vollständig steuerbar sind, wird erläutert, und ein Verfahren zur Berechnung von flachen Ausgängen einer gewissen Klasse von linearen Systemen über Weyl-Algebren wird präsentiert. Die behandelte Theorie und die formalen Methoden werden an Beispielen mechanischer und verfahrenstechnischer Systeme veranschaulicht.

This thesis treats structural properties of control systems, e.g. controllability and parametrizability of their behavior, from an algebraic point of view. It contributes the following formal computational methods. Janet's algorithm is extended to Ore algebras which are relevant for system theoretic applications. The generalized Hilbert series is introduced, which enumerates a vector space basis of a finitely presented module over an Ore algebra. A method for linearizing differential equations that is independent of any chosen trajectory is presented. This generic linearization results in a system of linear differential equations with non-constant coefficients which are subject to the original nonlinear equations. Therefore, a computational way for dealing with these equations is explained in the framework of jet calculus and differential rings. The algebraic approach to systems theory which is employed in this thesis associates with every linear system a module over a ring which is chosen in accordance with the type of the given equations (e.g. ordinary or partial differential equations, difference equations, retarded differential equations, etc.). The precision in which structural properties of the solution space of the linear system are represented by the module depends on the choice of the space of admissible functions. A faithful correspondence of homological conditions holds for function spaces which are injective cogenerators. In this thesis an injective cogenerator for every Ore algebra which is relevant for the applications to systems theory is presented. The possibility to parametrize the solution spaces of linear systems is investigated more closely. An extension of the established theory to linear systems which are not completely controllable is explained and a method for computing flat outputs of a certain class of linear systems over Weyl algebras is given. The presented theory and formal methods are illustrated on mechanical and chemical engineering systems.

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