Numerische Lösungen der Cahn-Hilliard-Gleichung und der Cahn-Larché-Gleichung

Abstract

Ziel ist die Implementierung und Analyse eines effizienten numerischen Verfahrens zur Lösung der Cahn-Hilliard- und der Cahn-Larché-Gleichung. In Kapitel 2 wird das mathematische Modell detailliert beschrieben, und die Gleichungen werden hergeleitet. <br /> Zur Diskretisierung der Gleichungen des Modells bezüglich des Ortes haben wir einen Finite-Element-Ansatz gewählt. Bei der Zeitdiskretisierung lag der Schwerpunkt der Implementierung auf dem theta-Zwischenschritt-Verfahren. Daneben betrachten wir auch das implizite Euler- und das Crank-Nicholson-Verfahren zur Auflösung der Zeitableitung. Der Darstellung der Diskretisierung der Gleichungen mittels der genannten Verfahren ist das dritte Kapitel gewidmet. <br /> Im vierten Kapitel dikutieren wir einige Eigenschaften der diskretisierten Gleichungen. Das Hauptergebnis ist der Beweis der Konvergenz der diskreten Lösungen der Cahn-Larché-Gleichung gegen Lösungen der Differentialgleichung. Der Beweis lehnt sich an den Existenzbeweis von H. Garcke an. <br /> In Kapitel 5 werden wir a posteriori-Fehlerschätzer für die Cahn-Hilliard- und die Cahn-Larché-Gleichung mit homogener Elastizität herleiten. Diese lokalen Fehlerschätzer werden zur Adaption der Gitter, auf denen wir rechnen, verwendet. Die mit den beschriebenen Algorithmen erzeugten numerischen Ergebnisse sind in Kapitel 6 zusammengefasst. Dabei interessieren uns hauptsächlich <ul><li>die Verifikation der Algorithmen insbesondere das richtige Skalierungsverhalten, </li> <li> die Konvergenz von Lösungen der Cahn-Hilliard-Gleichung gegen Lösungen des Mullins-Sekerka-Modells, </li> <li> das Verhalten der Fehlerschätzer, </li> <li> die Auswirkungen der Elastizität auf Phasengrenzen und Partikelgestalt, </li> <li> die Vergröberungsraten und Geschwindigkeit der Evolution mit und ohne Elastizität.</li> </ul>