Multiskalen-basierte Finite-Differenzen-Verfahren auf adaptiven dünnen Gittern

Abstract

In der Arbeit werden Lösungsverfahren für partielle Differential- gleichungen vorgestellt, die auf Multiskalen-Ansatzfunktionen (Wavelets) basieren. Zur adaptiven Approximation der numerischen Lösung werden anisotrope Tensorprodukte von Verallgemeinerungen der Hierarchischen Basis (Interpolets) benutzt. Diese erlauben eine sehr effiziente Approximation von Funktionen, z.B. Funktionen mit beschränkter gemischter Ableitung. Weiterhin ist eine einfache Transformation zwischen Knotenwerten bzgl. eines adaptiven Gitters und der Multiskalendarstellung möglich.<br /> Für die Diskretisierung von Differentialoperatoren werden ein spezielles biorthogonales Petrov-Galerkin--Verfahren und Finite Differenzen-Verfahren betrachtet. Erstmalig wird für diese Diskretisierungen eine allgemeine Konvergenztheorie angegeben, die auch den adaptiven Fall abdeckt. Dabei wird der Konvergenzfehler über einen Approximationsfehler und einen Konsistenzfehler abgeschätzt. Für den Fall spezieller an die Lösung angepasster adaptiver Basen werden für den Konsistenzfehler a priori Schranken angegeben.<br /> Ein weiterer Schwerpunkt ist das schnelle Lösen der bei obiger Diskretisierung entstehenden linearen Gleichungssysteme. Es werden zwei sehr effiziente Vorkonditionier vorgestellt und analysiert, wobei einer auf dem Lifting-Schema basiert. Mit diesem erhält man Konditionszahlen, die unabhängig von der feinsten Maschenweite beschränkt sind.<br /> Das Lösungsverfahren wird auf eine Reihe von Testproblemen angewandt, z.B. die adaptive Simulation von zwei- bzw. drei-dimensionalen turbulenten Scherschichten.