Formal vector spaces in mixed characteristic
Sei k ein perfekter Körper der positiven Charakteristik p. Wir untersuchen formale Q_p-Vektorräume über k, d.h. Q_p-Vektorraumobjekte in der Kategorie der formalen k-Schemata. Inspiriert wird das durch die Arbeit von Weinstein in gleicher Charakteristik und durch Fragen von Le Bras über Banach-Colmez-Räume. Wird ein formaler Q_p-Vektorraum F durch einen Ring gebrochener formaler Potenzreihen über k von Dimension d repräsentiert, so besagt unser Hauptresultat, dass F im Fall d = 1 isomorph ist zur universellen formalen Überlagerung einer p-divisible Gruppe G über k. Für höhere Dimensionen verallgemeinern wir eine Äquivalenz von Drinfeld zwischen p-divisiblen Gruppen und k-Tategruppen. Im Fall d > 1 zeigen wir dann, dass F unter einer natürlichen Stetigkeitsbedingung isomorph ist zur universellen formalen Überlagerung einer sogenannten verallgemeinerten p-divisible Gruppe. Wir diskutieren auch kurz den étalen Fall und wie man unendlichdimensionale Q_p-Banachraumdarstellungen der absoluten Galoisgruppe von k behandeln kann.
Let k be a perfect field of positive characteristic p. We study formal Q_p-vector spaces over k, i.e. Q_p-vector space objects in the category of formal k-schemes. This is inspired by Weinstein's work in equal characteristic and by questions on Banach-Colmez spaces asked by Le Bras. Our main result is that, if F is a formal Q_p-vector space represented by a ring of fractional formal power series over k of dimension d, then F is isomorphic to the universal formal cover of a p-divisible group over k in case d = 1. For higher dimensions, we extend Drinfeld's equivalence between p-divisible groups and Tate k-groups. We then prove that, if d > 1, then, under a natural continuity condition, F is isomorphic to the universal formal cover of what we call a generalized p-divisible group. We also briefly discuss the étale case and how to deal with infinite dimensional Q_p-Banach space representations of the absolute Galois group of k.