Rayleigh waves in generalized continua

In this thesis we consider wave propagation phenomena in generalized continuum models. The classical linear continuum theory is inadequate to explain new effects of microstructural motion; for example, in an unbounded elastic medium, the propagation of plane waves is non-dispersive. On the contrary, experiments with real solids show that waves propagation is dispersive, i.e., the wave speed is depending on the frequency. To incorporate better the microstructure of the matter into the classical theory, generalized continuum models may be employed. The higher gradient elasticity theories and micromorprhic models are the most familiar models. The mechanical behaviour of isotropic Eringen-Mindlin micromorphic media is generally defined by means of 18 elastic constants. However, the huge set of parameters cannot unveil the main characteristics of the micromorphic media due to inevitable computational difficulties. To counter this situation, Neff recently presented the relaxed micromorphic model, featuring six parameters and having the capability to characterize the crucial feature of the micromorphic continua comprehensively. It is a well-documented fact that the relaxed micromorphic model includes various classical models as special cases, e.g., the microstretch model, the linear Cosserat model, microvoids model and the classical linear model. Traveling waves can exist within a small depth from a free surface of an elastic continuum, while the bulk of the continuum remains almost at rest. Such waves are called Rayleigh waves, named after the English physicist Lord Rayleigh, who carried out pioneering work in studies of wave propagations in isotropic elastic media. The studies of Rayleigh waves captivated the attention of many scientists owing to its industrial application such as material characterization, nondestructive evaluation, acoustic microscopy and geophysical exploration. These waves are also employed to detect cracks and other defects in the material.

Recently, Mielke and Fu have devised a new method to study the surface wave propagation in an anisotropic linear elastic Cauchy material. This method is based on the surface impedance matrix, which is a solution of the algebraic Riccati equation. They presented the proof of the existence and the uniqueness of the surface wave speed of anisotropic elastic material by carrying out an algebraic matrix analysis of the surface impedance matrix in the subsonic range. The studies of Rayleigh waves related to generalized continuum theories are scarce in the literature. In fact, most of the studies focus on the computational aspect rather than establishing a unified theory for the existence and uniqueness of the Rayleigh wave speed.

In this thesis we address the existence and uniqueness question for Rayleigh waves in a linear Cosserat material. For this task we apply and generalize the method by Mielke and Fu. After a general introduction (including some necessary mathematical definitions) we revisit first Mielke and Fu’s method as applied to classical linear isotropic elasticity. This serves the didactic purpose but we are already able to derive the specific form of the secular equation. Then we generalize the method to the Cosserat continuum obtaining novel existence and uniqueness results. Detailed comparisons (analytical and numerical) with alternative classical approach are carried out (these approaches do not lead to existence and uniqueness results).

The main part of the thesis is accepted for publication [1].

[1] H. Khan, I.-D. Ghiba, A. Madeo, and P. Neff. “Existence and uniqueness of Rayleigh waves in isotropic elastic Cosserat materials and algorithmic aspects”. arXiv preprint arXiv:2104.13143 (2021), to appear in Wave Motion (2022).

In dieser Arbeit betrachten wir Wellenausbreitungsphänomene in verallgemeinerten Kontinuumsmodellen. Die klassische lineare Kontinuumstheorie ist unzureichend, um neue Effekte der mikrostrukturellen Bewegung zu beschreiben; in einem unbegrenzten elastischen Medium beispielsweise ist die Ausbreitung ebener Wellen nicht-dispersiv. Im Gegensatz dazu zeigen Experimente mit realen Festkörpern, dass die Wellenausbreitung dispersiv ist, d. h. die Wellengeschwindigkeit ist von der Frequenz abhängig. Um die Mikrostruktur der Materie besser in die klassische Theorie einzubeziehen, können verallgemeinerte Kontinuumsmodelle verwendet werden. Die Theorien der höheren Gradientenelastizität und der mikromorphen Modelle sind die bekanntesten Modelle.

Das mechanische Verhalten isotroper mikromorpher Eringen-Mindlin-Medien wird im Allgemeinen mit Hilfe von 18 Konstanten der Elastizitat definiert. Aufgrund der unvermeidlichen Rechenschwierigkeiten kann die große Anzahl von Parametern jedoch nicht die wichtigsten Eigenschaften der mikromorphen Medien enthüllen. Um dieser Situation entgegenzuwirken, hat Neff vor kurzem ein relaxiertes mikromorphes Modell mit sechs Parametern vorgestellt, das in der Lage ist, die entscheidenden Merkmale der mikromorphen Kontinua umfassend zu charakterisieren. Es wurde bereits gezeigt, dass das relaxierte mikromorphe Modell verschiedene klassische Modelle als Spezialfälle enthält, z. B. das Mikrodehnungsmodell, das lineare Cosserat-Modell, das Modell der Mikrovoids und das klassische lineare Modell. Fortschreitendewellen können innerhalb einer geringen Tiefe von einer freien Oberfläche eines elastischen Kontinuums existieren, während der Hauptteil des Kontinuums nahezu in Ruhe verbleibt. Solche Wellen werden Rayleigh-Wellen genannt, benannt nach dem englischen Physiker Lord Rayleigh, der Pionierarbeit bei der Untersuchung der Wellenausbreitung in isotropen elastischen Medien geleistet hat. Die Untersuchungen der Rayleigh-Wellen erregten die Aufmerksamkeit vieler Wissenschaftler aufgrund ihrer industriellen Anwendung, z. B. bei der Materialcharakterisierung, den zerstörungsfreien Prüfverfahren, der akustischen Mikroskopie und der geophysikalischen Erkundung. Diese Wellen werden auch eingesetzt, um Risse und andere Defekte im Material aufzuspüren.

Kürzlich haben Mielke und Fu eine neue Methode zur Untersuchung der Ausbreitung von Oberflächenwellen in einem anisotropen linear elastischen Material entwickelt. Diese Methode basiert auf der Oberflächenimpedanzmatrix, die eine Lösung der algebraischen Riccati-Gleichung ist. Sie haben den Beweis für die Existenz und die Eindeutigkiet der Oberflächenwellengeschwindigkeit eines anisotropen elastischen Materials erbracht, indem sie eine algebraische Matrixanalyse der Oberflächenimpedanzmatrix im Unterschallbereich durchgeführt haben. Die Studien über Rayleigh-Wellen im Zusammenhang mit verallgemeinerten Kontinuumstheorien sind in der Literatur spärlich. In der Tat konzentrieren sich die meisten Studien auf den rechnerischen Aspekt, anstatt eine einheitliche Theorie für die Existenz und Eindeutigkeit der Rayleigh-Wellengeschwindigkeit aufzustellen.

In dieser Arbeit befassen wir uns mit der Frage der Existenz und Eindeutigkeit von Rayleigh Wellen im linearen Cosserat-Material. Für diese Aufgabe verwenden und verallgemeinern wir die Methode von Mielke und Fu. Nach einer allgemeinen Einführung (einschließlich einiger notwendiger mathematischer Definitionen) gehen wir zunächst auf die Methode von Mielke und Fu ein, die auf die klassische lineare isotrope Elastizität angewendet wird. Dies dient einem didaktischen Zweck, aber wir sind bereits in der Lage, die spezielle Form der säkularen Gleichung herzuleiten. Dann verallgemeinern wir die Methode auf das Cosserat-Kontinuum und erhalten neue Existenz und Eindeutigkeitsergebnisse. Detaillierte Vergleiche (analytisch und numerisch) mit alternativen klassischen Ansätzen werden durchgeführt (diese Ansätze führen nicht zu Existenz- und Eindeutigkeitsresultaten).

Der Hauptteil der Arbeit ist bereits zur Veröffentlichung angenommen worden [1].

[1] H. Khan, I.-D. Ghiba, A. Madeo, and P. Neff. “Existence and uniqueness of Rayleigh waves in isotropic elastic Cosserat materials and algorithmic aspects”. arXiv preprint arXiv:2104.13143 (2021), to appear in Wave Motion (2022).

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