Geometrieabhängigkeit fluktuationsinduzierter Wechselwirkungen
In dieser Arbeit werden zwei Arten von Systemen und deren Verbindung untersucht: Zum einen das zweidimensionale Isingmodell auf dem Zylinder mit unterschiedlichen Randbedingungen, insbesondere die Abhängigkeit des Skalenverhaltens unter Variation des Seitenverhältnisses und der Temperatur, zum anderen kolloidale Suspensionen, welche mittels kritischen Casimir-Kräften wechselwirken.
Die am kritischen Punkt gültige konforme Invarianz des Isingmodells wird im ersten Teil diskutiert. Da diese genutzt werden kann, um den kritischen Zylinder auf ein System von zwei Teilchen in einem unendlichen Medium abzubilden, werden Methoden diskutiert, den Zylinder auch auf andere Geometrien abzubilden, die mathematisch zweifach-zusammenhängende Gebiete bilden.
Darauf aufbauend wird eine Approximation für Dreiteilchen-Wechselwirkungen entwickelt und diese mit Monte-Carlo-Simulationen verglichen.
Um endliche Systeme mit unterschiedlichen Randbedingungen zu untersuchen, wird im zweiten Teil die von Kasteleyn und Fisher entwickelte Abbildung zwischen einem System von dicht-gepackten Dimeren und der Hochtemperaturreihe des zweidimensionalen Isingmodells diskutiert.
Diese wird auf beliebige Kopplungsverteilungen erweitert, sodass Oberflächen in das System eingebracht werden können. Anschlie- ßend werden zwei Möglichkeiten präsentiert, die Anzahl an Freiheitsgraden systematisch und sukzessiv zu verringern.
Bei der ersten Methode wird die aus der Kasteleyn-Fisher-Abbildung stammende Matrix mithil- fe von zwei direkt aufeinander folgenden Schur-Reduktionen in eine schiefsymmetrische und tridiagonale Blockform gebracht. Die Determinante der resultierenden Matrix wird mit der Transfermatrixmethode von Molinari berechnet, wofür im letzten Schritt die Eigenwerte und -vektoren dieser Transfermatrix bestimmt werden müssen.
Die zweite Methode führt unter der Annahme von Translationsinvarianz eine Blockdiagonalisierung zur Berechnung der auftretenden Determinanten durch, wodurch sich das restliche Problem mithilfe einer 2 × 2-Transfermatrix lösen lässt.
Um die temperaturabhängigen Skalenfunktionen für endliche Seitenverhältnisse zu bestimmen, wird eine anisotrope Skalentheorie für das zweidimensionale Isingmodell entwickelt.
Die auftretenden divergenten Summen werden über komplexe Kurvenintegrale und mithilfe einer hyperbolischen Parametrisierung, sowie weiteren Methoden, die hauptsächlich auf der komplexen Funktionentheorie beruhen, regularisiert. Die Skalenfunktionen für den Torus mit allen vier Kombinationen von periodischen und antiperiodischen Randbedingungen bilden den Anfang der Berechnungen, und auf ihnen aufbauend werden anschließend die Skalenfunktionen für den offenen Zylinder mit sowohl periodischen als auch antiperiodischen Rändern, sowie die zugehörigen Oberflächenspannungen bestimmt.
Abgeschlossen wird dieser letzte Teil mit der Einführung von Oberflächenfeldern, mit deren Hilfe die Skalenfunktionen für (++)-, (+−)-, und Brascamp-Kunz-Randbedingungen bestimmt werden.
Die am kritischen Punkt gültige konforme Invarianz des Isingmodells wird im ersten Teil diskutiert. Da diese genutzt werden kann, um den kritischen Zylinder auf ein System von zwei Teilchen in einem unendlichen Medium abzubilden, werden Methoden diskutiert, den Zylinder auch auf andere Geometrien abzubilden, die mathematisch zweifach-zusammenhängende Gebiete bilden.
Darauf aufbauend wird eine Approximation für Dreiteilchen-Wechselwirkungen entwickelt und diese mit Monte-Carlo-Simulationen verglichen.
Um endliche Systeme mit unterschiedlichen Randbedingungen zu untersuchen, wird im zweiten Teil die von Kasteleyn und Fisher entwickelte Abbildung zwischen einem System von dicht-gepackten Dimeren und der Hochtemperaturreihe des zweidimensionalen Isingmodells diskutiert.
Diese wird auf beliebige Kopplungsverteilungen erweitert, sodass Oberflächen in das System eingebracht werden können. Anschlie- ßend werden zwei Möglichkeiten präsentiert, die Anzahl an Freiheitsgraden systematisch und sukzessiv zu verringern.
Bei der ersten Methode wird die aus der Kasteleyn-Fisher-Abbildung stammende Matrix mithil- fe von zwei direkt aufeinander folgenden Schur-Reduktionen in eine schiefsymmetrische und tridiagonale Blockform gebracht. Die Determinante der resultierenden Matrix wird mit der Transfermatrixmethode von Molinari berechnet, wofür im letzten Schritt die Eigenwerte und -vektoren dieser Transfermatrix bestimmt werden müssen.
Die zweite Methode führt unter der Annahme von Translationsinvarianz eine Blockdiagonalisierung zur Berechnung der auftretenden Determinanten durch, wodurch sich das restliche Problem mithilfe einer 2 × 2-Transfermatrix lösen lässt.
Um die temperaturabhängigen Skalenfunktionen für endliche Seitenverhältnisse zu bestimmen, wird eine anisotrope Skalentheorie für das zweidimensionale Isingmodell entwickelt.
Die auftretenden divergenten Summen werden über komplexe Kurvenintegrale und mithilfe einer hyperbolischen Parametrisierung, sowie weiteren Methoden, die hauptsächlich auf der komplexen Funktionentheorie beruhen, regularisiert. Die Skalenfunktionen für den Torus mit allen vier Kombinationen von periodischen und antiperiodischen Randbedingungen bilden den Anfang der Berechnungen, und auf ihnen aufbauend werden anschließend die Skalenfunktionen für den offenen Zylinder mit sowohl periodischen als auch antiperiodischen Rändern, sowie die zugehörigen Oberflächenspannungen bestimmt.
Abgeschlossen wird dieser letzte Teil mit der Einführung von Oberflächenfeldern, mit deren Hilfe die Skalenfunktionen für (++)-, (+−)-, und Brascamp-Kunz-Randbedingungen bestimmt werden.
In this work two types of systems and their connection are investigated: On the one hand the two- dimensional Ising model on the cylinder with different boundary conditions, in particular the dependence of the scaling behavior under variation of the aspect ratio and the temperature, on the other hand colloidal suspensions, which interact by means of critical Casimir forces.
The conformal invariance of the Ising model valid only at criticality is discussed in the first part. The mapping from the cylinder onto two separated spherical particles forms the base to develop a method to map the solution of the cylinder to arbitrary other geometries that are mathematically described as doubly-connected domains.
Afterwards we look at a particular example and find an approximation for three-body interactions. The approximation is compared to Monte Carlo simulations.
In the second part, in order to investigate finite systems with different boundary conditions, the mapping developed by Kasteleyn and Fisher between the problem of close-packed dimers and the high temperature series of the two-dimensional Ising model is discussed.
The mapping is expanded to include arbitrary coupling distributions with the goal to introduce surfaces to the system.
Then two possibilities are presented to systematically and successively reduce the number of degrees of freedom. The first method consists of two successive Schur reductions on the matrix representation of the Ising model by means of the Kasteleyn-Fisher-Mapping to obtain a skew-symmetric block matrix. The resulting matrix is simplified further with the transfer matrix method by Molinari.
To calculate the final determinant, we need to calculate the eigensystem of the transfer matrix.
The second method relies on the assumption of translation invariance, which enables us to use a block diagonalization to calculate the determinants that occur, whereby the remaining problem can be solved using a 2 × 2 transfer matrix.
To determine the temperature-dependent scaling functions for finite aspect ratios, an anisotropic scaling theory is developed for the two-dimensional Ising model.
The divergent sums that occur are regularized using complex curve integrals and a hyperbolic parameterization, as well as other methods. The scaling functions for the torus with all four combinations of periodic and antiperiodic boundary conditions form the beginning and based on them the scaling functions for the open cylinder with both periodic and antiperiodic boundaries, as well as the associated surface tensions are determined.
Subsequently, surface fields are introduced and the scaling functions for (++), (+−), and Brascamp-Kunz boundary conditions are presented.
The conformal invariance of the Ising model valid only at criticality is discussed in the first part. The mapping from the cylinder onto two separated spherical particles forms the base to develop a method to map the solution of the cylinder to arbitrary other geometries that are mathematically described as doubly-connected domains.
Afterwards we look at a particular example and find an approximation for three-body interactions. The approximation is compared to Monte Carlo simulations.
In the second part, in order to investigate finite systems with different boundary conditions, the mapping developed by Kasteleyn and Fisher between the problem of close-packed dimers and the high temperature series of the two-dimensional Ising model is discussed.
The mapping is expanded to include arbitrary coupling distributions with the goal to introduce surfaces to the system.
Then two possibilities are presented to systematically and successively reduce the number of degrees of freedom. The first method consists of two successive Schur reductions on the matrix representation of the Ising model by means of the Kasteleyn-Fisher-Mapping to obtain a skew-symmetric block matrix. The resulting matrix is simplified further with the transfer matrix method by Molinari.
To calculate the final determinant, we need to calculate the eigensystem of the transfer matrix.
The second method relies on the assumption of translation invariance, which enables us to use a block diagonalization to calculate the determinants that occur, whereby the remaining problem can be solved using a 2 × 2 transfer matrix.
To determine the temperature-dependent scaling functions for finite aspect ratios, an anisotropic scaling theory is developed for the two-dimensional Ising model.
The divergent sums that occur are regularized using complex curve integrals and a hyperbolic parameterization, as well as other methods. The scaling functions for the torus with all four combinations of periodic and antiperiodic boundary conditions form the beginning and based on them the scaling functions for the open cylinder with both periodic and antiperiodic boundaries, as well as the associated surface tensions are determined.
Subsequently, surface fields are introduced and the scaling functions for (++), (+−), and Brascamp-Kunz boundary conditions are presented.