In dieser Arbeit behandeln wir für $\mathrm{\omega }\in \mathrm{ℂ}$ die zeitharmonischen Maxwellgleichungen

Wir beginnen mit der Konstruktion von Lösungen im zeitharmonischen Fall $\mathrm{\omega }\ne 0\mathrm{.}$ Dabei ist die Lösungstheorie für nichtreelle Frequenzen eine einfache Konsequenz aus der Selbstadjungiertheit des Maxwelloperators $\text{<b>M</b>}:{\text{<b>R</b>}}_{\text{Γ₁}}\mathrm{(}\mathrm{\Omega })\times {\text{<b>R</b>}}_{\text{Γ₂}}\mathrm{(}\mathrm{\Omega })\subset {\mathrm{L}}_{\mathrm{\Lambda }}^2\left(\mathrm{\Omega }\right)⟶{\mathrm{L}}_{\mathrm{\Lambda }}^2\left(\mathrm{\Omega }\right),(E,H)⟼\mathrm{i}\mathrm{\Lambda ^{\; <mo>-</mo>1}}\mathrm{M},{\mathrm{L}}_{\mathrm{\Lambda }}^2\left(\mathrm{\Omega }\right)≔{\mathrm{L}}_{\mathrm{ϵ}}^2\left(\mathrm{\Omega }\right)\times {\mathrm{L}}_{\mathrm{\mu }}^2\left(\mathrm{\Omega }\right)$ mit $\mathrm{\Lambda }≔\left(\begin{array}{cc}ϵ& 0\\ 0& \mu \end{array}\right),\mathrm{M}≔\left(\begin{array}{cc}0& -\mathrm{rot}\\ \mathrm{rot}& 0\end{array}\right),{\mathrm{L}}_{\mathrm{\gamma }}^2\mathrm{(}\mathrm{\Omega }\mathrm{)}≔\left({\mathrm{L}}^2\mathrm{(}\mathrm{\Omega }\mathrm{)},{<\mathrm{\gamma }·,·>}_{{\mathrm{L}}^2\left(\mathrm{\Omega }\right)}\right)$

Für $\mathrm{\omega }\in \mathrm{ℝ}\setminus \mathrm{\{}0\mathrm{\}}$ liefert dann die Methode der Grenzabsorption eine Fredholm-Theorie, die es uns erlaubt, Daten aus polynomial gewichteten ${\mathrm{L}}^2-$ Räumen zu behandeln. Im Kern approximieren wir dazu Lösungen zu reellen Frequenzen $\mathrm{\omega }\ne 0$ durch Lösungen zu $\mathrm{\omega }\in \text{ℂ₊}\setminus \mathrm{\{}0\mathrm{\}}\mathrm{.}$ Die dafür benötigte a-priori-Abschätzung, ebenso wie das polynomiale Abklingen von Eigenlösungen, gewinnen wir durch Rückführung auf entsprechende Ergebnisse der Helmholtzgleichung. Ein geeignetes Kompaktheitsresultat, der sogenannte Wecksche Auswahlsatz (auch Maxwellsche Kompaktheitseigenschaft genannt), liefert dann die Konvergenz der approximativen Folge. Wir müssen endlichdimensionale Eigenräume für gewisse Eigenwerte einräumen, wobei sich diese Eigenwerte in $\mathrm{ℝ}\setminus \mathrm{\{}0\mathrm{\}}$ nicht häufen können.

Anschließend präsentieren wir eine Lösungstheorie für das statische Problem $\mathrm{\omega }=0\mathrm{.}$ Dieser vermeintlich einfachere Fall, bietet de facto eigene Schwierigkeiten, da zum einen die Gleichungen in diesem Fall völlig entkoppeln und außerdem zu

zusätzliche (im zeitharmonischen Fall implizit gegebene) Bedingungen der Art

$\mathrm{div}\mu H=g\mathrm{,}\mathrm{div}ϵE=f\mathrm{,}$

sowie geeignete Randbedingungen auf dem jeweils anderen Teil des Randes hinzutreten. Das entstehende Randwertproblem besitzt einen nichttrivialen Kern, so dass wir für eindeutige Lösungen geeignete Orthogonalitätsbedingungen einführen müssen. Diese Bedingungen realisieren wir durch die Konstruktion spezieller rotationsfreier Felder, die im Äußeren einer hinreichend großen Kugel verschwinden. Wir gewinnen Lösungen $\left(E,H\right)\in {\mathrm{L}}_{-1}^2\left(\mathrm{\Omega }\right)\times \in {\mathrm{L}}_{-1}^2\left(\mathrm{\Omega }\right)$ für Daten $\left(F,G\right)\in {\mathrm{L}}^2\left(\mathrm{\Omega }\right)\times \in {\mathrm{L}}^2\left(\mathrm{\Omega }\right)\mathrm{,}$ müssen aber die Vorraussetzungen an die Koeffizienten dahingehend erweitern, dass $ϵ$ und $\mu$ außerhalb einer beliebig großen Kugel differenzierbar sind und auch ihre Ableitungen bei Unendlich asymptotisch gegen ein Vielfaches der Identität abklingen.

Schließlich gelingt es über die Darstellung der zeitharmonischen Lösungen im Ganzraum auch Null als Häufungspunkt der Eigenwerte auszuschließen. Damit ist für kleine Frequenzen der zeitharmonische Lösungsoperator ${ℒ}_{\mathrm{\Lambda }\mathrm{,}\mathrm{\omega }}$ wohldefiniert und eine Untersuchung des Grenzübergangs für $\mathrm{\omega }\to 0$ möglich. Unter passenden Voraussetzungen an die Koeffizienten $ϵ\mathrm{,}\mu$ sowie die Daten $\left(F,G\right)$ können wir schlussendlich die Konvergenz der zeitharmonischen Lösungen ${ℒ}_{\mathrm{\Lambda }\mathrm{,}\mathrm{\omega }}\left(F,G\right)$ gegen eine spezielle Lösung des statischen Problems ${ℒ}_{\mathrm{\Lambda }\mathrm{,}0}\left(F,G\right)$ nachweisen.