On global solutions of the obstacle problem
In this thesis we investigate global solutions of the classical obstacle problem. We give a partial result towards a conjecture by H. Shahgholian ('92) saying that the coincidence sets of global solutions of the obstacle problem are in the closure of ellipsoids, i.e. ellipsoids, paraboloids, cylinders with one of the two as basis, or half-spaces. We give a short proof of the known result that bounded coincidence sets of global solutions of the obstacle problem that have non-empty interior are ellipsoids. Our main and new result is that in dimensions greater or equal to 6 coincidence sets of global solutions, that are not constant in any direction and have a blow-down that is independent of exactly one direction, are paraboloids if they have non-empty interior.
The proof rests on a careful analysis of the asymptotics of solutions at infinity, the Newton-potential expansion of the solution and a comparison argument that only requires two solutions to be compared on a sufficiently large portion of huge spheres.
In dieser Arbeit untersuchen wir globale Lösungen des klassischen Hindernisproblems. Wir zeigen einen Teil einer Vermutung von H. Shahgholian (’92), die besagt, dass die Koinzidenzmenge globaler Lösungen des Hindernisproblems im Abschluss von Ellipsoiden liegt, d.h. ein Ellipsoid, ein Paraboloid, ein Zylinder mit einer der
beiden Mengen als Basis oder ein Halbraum ist. Wir geben zunächst einen kurzen Beweis des klassischen Resultats, dass die Koinzidenzmenge globaler Lösungen des Hindernisproblems, wenn sie beschränkt ist und nicht-leeres Inneres hat, ein Ellipsoid sein muss. Unser neues Resultat und das Hauptresultat dieser Arbeit ist, dass in Dimensionen größer oder gleich sechs die Koinzidenzmenge einer globalen Lösung der Hindernisproblems,
die in keine Richtung konstant ist und einen blow-down hat, der in
genau eine Richtung verschwindet, wenn sie nicht-leeres Inneres hat, ein Paraboloid ist. Der Beweis basiert auf einer eingehenden Untersuchung des asymptotischen Verhaltens der Lösung im Unendlichen, der Newton-Potential-Entwicklung der Lösung
und einem Vergleich zweier Lösungen, der nur benötigt, dass die beiden Lösungen auf ausreichend großen Bereichen großer Sphären vergleichbar sind.