Local models, Mustafin varieties and semi-stable resolutions
In this thesis we will analyse singularities of local models. More precisely we will attack the question of existence of semi-stable resolutions. We will discuss an approach mentioned in [Gen00]. In this approach a candidate for a semi-stable resolution was given as the blow-up of a Grassmannian variety in Schubert varieties of its special fiber. Explicit calculations with Sage described in Appendix D show that this approach is not working in general. Starting from the proof of flatness of the local models in [Gör01], we describe these local models as Mustafinvarieties over Grassmannian varieties. We are combining several results on the structure of Mustafin varieties over projective spaces (cf. [CHSW11],[AL17]) with the Plücker embedding to be able to construct a candidate for a semi-stable resolution of local models. Under some additional assumptions this candidate is generalising the approach suggested by Genestier. Furthermore under the same assumptions the new candidate agrees with the semi-stable resolution constructed in [Gör04] for small dimensions.
In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit den Singularitäten von lokalen Modellen. Genauer untersuchen wir die Existenz semi-stabiler Auflösungen. Wir werden einen in [Gen00] erwähnten Ansatz diskutieren. Dieser Ansatz beschreibt einen Kandidaten für eine Auflösung als Aufblasung von Grassmannschen Varietäten in den Schubert Varietäten der speziellen Faser. Explizite Berechnungen in Appendix D zeigen, dass dieser Ansatz nicht zum Ziel führt. Ausgehend von dem Beweis der Flachheit der lokalen Modelle in [Gör01] lassen sich die lokalen Modelle auch als Mustafin-Varietäten über Grassmannschen Varietäten auffassen. Unter anderem in [CHSW11] und [AL17] wurden Mustafin-Varietäten über projektiven Räumen ausgiebig untersucht, was uns ermöglicht mit Hilfe der Plücker Einbettung einen Kandidaten für eine semi-stabile Auflösung zu konstruieren. Unter gewissen Voraussetzungen verallgemeinert dieser den Kandidaten von Genestier und stimmt mit der in [Gör04] konstruierten Auflösung für kleine Dimensionen überein.