In dieser Arbeit entwickeln wir eine Strafmethode zur Approximation von Lösungen des freien Randwertproblems für Minimalflächen. Wir untersuchen das Problem, Minimierer eines Funktionals F zu finden, welches als Summe aus dem Dirichletintegral und einem geeigneten, durch einen Parameter gewichteten Strafterm definiert ist. In einem ersten, analytischen Teil beweisen wir Existenz einer Lösung ebenso wie Konvergenz gegen eine Lösung des freien Randwertproblems. Außerdem beweisen wir Regularität der Randwerte dieser Lösungen, was essentiell für weitere numerische Berechnungen ist. Da wir zeigen können, dass Lösungen harmonische Funktionen sind, können wir unsere Untersuchungen auf den Rand beschränken, indem wir die harmonische Erweiterung verwenden. In einem zweiten, numerischen Teil entwickeln wir ein vollständig diskretes Finite-Elemente-Verfahren zur Approximation von Lösungen dieses eindimensionalen Problems und beweisen eine Fehlerabschätzung, die eine Konvergenzordnung bezüglich der Gitterweite enthält.