Ricarda Rosemann

• Emission trading systems (ETS) represent a widely used instrument to control greenhouse gas emissions, while minimizing reduction costs. In an ETS, the desired amount of emissions in a predefined time period is fixed in advance; corresponding to this amount, tradeable allowances are handed out or auctioned to companies which underlie the system. Emissions which are not covered by an allowance are subject to a penalty at the end of the time period. Emissions depend on non-deterministic parameters such as weather and the state of the economy. Therefore, it is natural to view emissions as a stochastic quantity. This introduces a challenge for the companies involved: In planning their abatement actions, they need to avoid penalty payments without knowing their total amount of emissions. We consider a stochastic control approach to address this problem: In a continuous-time model, we use the rate of emission abatement as a control in minimizing the costs that arise from penalty payments and abatement costs. In a simplified variant of this model, the resulting Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation can be solved analytically. Taking the viewpoint of a regulator of an ETS, our main interest is to determine the resulting emissions and to evaluate their compliance with the given emission target. Additionally, as an incentive for investments in low-emission technologies, a high allowance price with low variability is desirable. Both the resulting emissions and the allowance price are not directly given by the solution to the stochastic control problem. Instead we need to solve a stochastic differential equation (SDE), where the abatement rate enters as the drift term. Due to the nature of the penalty function, the abatement rate is not continuous. This means that classical results on existence and uniqueness of a solution as well as convergence of numerical methods, such as the Euler-Maruyama scheme, do not apply. Therefore, we prove similar results under assumptions suitable for our case. By applying a standard verification theorem, we show that the stochastic control approach delivers an optimal abatement rate. We extend the model by considering several consecutive time periods. This enables us to model the transfer of unused allowances to the subsequent time period. In formulating the multi-period model, we pursue two different approaches: In the first, we assume the value that the company anticipates for an unused allowance to be constant throughout one time period. We proceed similarly to the one-period model and again obtain an analytical solution. In the second approach, we introduce an additional stochastic process to simulate the evolution of the anticipated price for an unused allowance. The model so far assumes that allowances are allocated for free. Therefore, we construct another model extension to incorporate the auctioning of allowances. Then, additionally the problem of choosing the optimal demand at the auction needs to be solved. We find that the auction price equals the allowance price at the beginning of the respective time period. Furthermore, we show that the resulting emissions as well as the allowance price are unaffected by the introduction of auctioning in the setting of our model. To perform numerical simulations, we first solve the characteristic partial differential equation derived from the HJB equation by applying the method of lines. Then we apply the Euler- Maruyama scheme to solve the SDE, delivering realizations of the resulting emissions and the allowance price paths. Simulation results indicate that, under realistic settings, the probability of non-compliance with the emission target is quite large. It can be reduced for instance by an increase of the penalty. In the multi-period model, we observe that by allowing the transfer of allowances to the subsequent time period, the probability of non-compliance decreases considerably.
• Emissionshandelssysteme (ETS) sind ein weit verbreitetes Instrument zur Steuerung von Treibhausgasemissionen. In einem ETS wird für eine feste Zeitperiode die Menge der zulässigen Emissionen festgelegt und anschließend eine entsprechende Anzahl an Zertifikaten ausgegeben oder versteigert, die je zur Emission von einer Tonne Kohlenstoffdioxid berechtigen. Für Emissionen, die nicht durch ein Zertifikat gedeckt sind, wird am Ende der Zeitperiode eine Strafgebühr fällig. Treibhausgasemissionen hängen von zufälligen Einflüssen wie dem Wetter oder der wirtschaftlichen Lage ab. Daher ist es naheliegend, Emissionen als stochastische Größe zu betrachten. Dies stellt die Unternehmen, die dem ETS unterliegen, vor eine Herausforderung: Sie müssen eventuelle Emissionsreduktionen planen, ohne die gesamten Emissionen des entsprechenden Zeitraums zu kennen. Wir lösen dieses Problem mit Methoden der stochastischen Steuerung: In einem zeitstetigen Modell verwenden wir die Emissionsvermeidungsrate als Kontrolle, um die Kosten zu minimieren, die durch Strafzahlungen oder die Vermeidung von Emissionen entstehen. In einer einfachen Variante des Modells kann die sich ergebende Hamilton-Jacobi-Bellman-(HJB)-Gleichung analytisch gelöst werden. Aus der Perspektive der zuständigen regulatorischen Instanz ist von wesentlichem Interesse, wie viele Emissionen anfallen und ob die Emissionsvorgabe erfüllt wird. Zusätzlich ist ein hoher und stabiler Zertifikatspreis erstrebenswert, um einen Anreiz zur Investition in emissionsarme Technologien zu liefern. Diese Größen erhalten wir nicht direkt aus der Lösung des Steuerungsproblems. Stattdessen müssen wir eine stochastische Differentialgleichung (SDE) lösen, deren Drift die Vermeidungsrate ist. Aufgrund der Struktur der Straffunktion ist die Vermeidungsrate nicht stetig. Daher sind klassische Resultate zur Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung sowie zur Konvergenz numerischer Methoden, wie etwa dem Euler-Maruyama-Schema, nicht anwendbar. Wir beweisen analoge Aussagen unter Verwendung von Annahmen, die an die im Modell auftretende SDE angepasst sind. Mithilfe eines klassischen Verifikationssatzes zeigen wir, dass die HJB-Gleichung eine optimale Vermeidungsrate liefert. In einer Erweiterung des Modells betrachten wir mehrere aufeinanderfolgende Zeitperioden. Dies ermöglicht uns, die Übertragung von ungenutzten Zertifikaten auf die nachfolgende Zeitperiode zu modellieren. Für die Formulierung des Mehr-Perioden-Modells verfolgen wir zwei verschiedene Ansätze: Im ersten nehmen wir an, dass die Unternehmen im ETS im Laufe einer Zeitperiode einem ungenutzten Zertifikat einen konstanten Wert zuweisen. In einem zweiten Ansatz definieren wir einen zusätzlichen stochastischen Prozess, um die Entwicklung des für ein ungenutztes Zertifikat angenommenen Preises zu simulieren. Bis hierhin haben wir in unserem Modell angenommen, dass die Zertifikate kostenlos ausgegeben werden. In einer Modellerweiterung bilden wir zusätzlich die Auktion von Zertifikaten ab. Dies erfordert die Bestimmung der optimalen Nachfrage nach Zertifikaten bei der Auktion. Wir stellen fest, dass der Auktionspreis gleich dem Marktpreis für Zertifikate zu Beginn der Zeitperiode ist. Darüber hinaus zeigen wir, dass die Versteigerung von Zertifikaten anstelle einer kostenlosen Zuteilung die anfallenden Emissionen sowie den Zertifikatspreis nicht beeinflussen. Um Simulationen in unserem Modell durchzuführen, lösen wir zunächst die partielle Differentialgleichung, die wir aus der HJB-Gleichung erhalten, unter Verwendung der vertikalen Linienmethode. Anschließend wenden wir das Euler-Maruyama-Schema an, um die SDE zu lösen. Dies liefert eine Realisierung der anfallenden Emissionen und des Preispfads. Die Ergebnisse der Simulationen weisen darauf hin, dass die Wahrscheinlichkeit, die Emissionsvorgabe zu verletzen, relativ hoch ist. Diese Wahrscheinlichkeit kann beispielsweise durch eine Erhöhung der Strafgebühr reduziert werden. Im Mehr-Perioden-Modell stellen wir fest, dass die Übertragbarkeit von Zertifikaten diese Wahrscheinlichkeit beträchtlich senkt.