Anne-Sophie Krah

• Life insurance companies are asked by the Solvency II regime to retain capital requirements against economically adverse developments. This ensures that they are continuously able to meet their payment obligations towards the policyholders. When relying on an internal model approach, an insurer's solvency capital requirement is defined as the 99.5% value-at-risk of its full loss probability distribution over the coming year. In the introductory part of this thesis, we provide the actuarial modeling tools and risk aggregation methods by which the companies can accomplish the derivations of these forecasts. Since the industry still lacks the computational capacities to fully simulate these distributions, the insurers have to refer to suitable approximation techniques such as the least-squares Monte Carlo (LSMC) method. The key idea of LSMC is to run only a few wisely selected simulations and to process their output further to obtain a risk-dependent proxy function of the loss. We dedicate the first part of this thesis to establishing a theoretical framework of the LSMC method. We start with how LSMC for calculating capital requirements is related to its original use in American option pricing. Then we decompose LSMC into four steps. In the first one, the Monte Carlo simulation setting is defined. The second and third steps serve the calibration and validation of the proxy function, and the fourth step yields the loss distribution forecast by evaluating the proxy model. When guiding through the steps, we address practical challenges and propose an adaptive calibration algorithm. We complete with a slightly disguised real-world application. The second part builds upon the first one by taking up the LSMC framework and diving deeper into its calibration step. After a literature review and a basic recapitulation, various adaptive machine learning approaches relying on least-squares regression and model selection criteria are presented as solutions to the proxy modeling task. The studied approaches range from ordinary and generalized least-squares regression variants over GLM and GAM methods to MARS and kernel regression routines. We justify the combinability of the regression ingredients mathematically and compare their approximation quality in slightly altered real-world experiments. Thereby, we perform sensitivity analyses, discuss numerical stability and run comprehensive out-of-sample tests. The scope of the analyzed regression variants extends to other high-dimensional variable selection applications. Life insurance contracts with early exercise features can be priced by LSMC as well due to their analogies to American options. In the third part of this thesis, equity-linked contracts with American-style surrender options and minimum interest rate guarantees payable upon contract termination are valued. We allow randomness and jumps in the movements of the interest rate, stochastic volatility, stock market and mortality. For the simultaneous valuation of numerous insurance contracts, a hybrid probability measure and an additional regression function are introduced. Furthermore, an efficient seed-related simulation procedure accounting for the forward discretization bias and a validation concept are proposed. An extensive numerical example rounds off the last part.
• Zur Gewährleistung ihrer Solvabilität auch in nachteiligen ökonomischen Szenarien werden Lebensversicherer unter Solvency II aufgefordert, ein Solvenzkapital vorzuhalten. Für Versicherer mit einem internen Modell ist dieses als der 99.5%-Value-at-Risk ihrer einjährigen Verlustverteilung definiert. Im Einführungsteil dieser Dissertation werden die Grundlagen der aktuariellen Modellierung zur Bestimmung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung einschließlich bekannter Methoden zur Risikoaggregation vorgestellt. Derzeit verfügen die Versicherer bei Weitem nicht über die Computerkapazitäten, die zur vollständigen Simulation ihrer Verlustverteilung notwendig wären. Deswegen müssen sie auf Approximationstechniken wie die Least-Squares Monte Carlo (LSMC)-Methodik zurückgreifen. Die Idee von LSMC besteht darin, nur wenige geschickt gewählte Simulationen durchzuführen und daraus approximativ den Zusammenhang zwischen Verlust und Risiken herzuleiten. Im ersten Teil dieser Dissertation wird ein theoretischer Rahmen für den LSMC-Ansatz zur Solvenzkapitalberechnung geschaffen. Nachdem die Verbindung zur Bewertung amerikanischer Optionen steht, wird der Ansatz in vier Schritte zerlegt. Im ersten Schritt wird das Monte Carlo Setting definiert. Dann folgen die Schritte zwei und drei zur Kalibrierung und Validierung der Proxyfunktion. Im vierten Schritt wird diese zur Vorhersage der Verlustverteilung angewendet. Parallel werden die Herausforderungen in der Praxis thematisiert sowie ein adaptiver Regressionsalgorithmus präsentiert. Abschließend wird die LSMC-Methodik mit Hilfe eines praktischen Beispiels illustriert. Der zweite Teil baut auf dem ersten auf und beleuchet den Kalibrierungsschritt tiefergehend. Nach einem Literaturüberblick und methodischen Basics werden diverse adaptive Machine Learning Ansätze basierend auf der Methode der kleinsten Quadrate und Modellwahlkriterien zur Herleitung der Proxyfunktion eingeführt. Die untersuchten Regressionstechniken reichen von der gewöhnlichen und verallgemeinerten Kleinste-Quadrate-Schätzung über GLM und GAM Methoden bis hin zur MARS Routine und Kernel-Regression. Alle Verfahren werden mathematisch legitimiert sowie anhand von praktischen Experimenten hinsichtlich ihres Verhaltens, ihrer numerischen Stabilität und Out-of-Sample Performance analysiert. Neben dem LSMC-Kontext kommen für diese Verfahren auch andere hochdimensionale Anwendungen mit Variablenselektion infrage. Lebensversicherungsverträge mit der Option zur vorzeitigen Beendigung können ebenfalls durch einen LSMC-Algorithmus bewertet werden. Im dritten Teil dieser Dissertation werden fondgebundene Verträge mit Mindestgarantiezinsen, die Rückkaufsrechte nach dem Vorbild amerikanischer Optionen enthalten, bewertet. Die Modellierung lässt Zufall und Sprünge in den Zins-, Volatilitäts-, Aktienmarkt- und Sterblichkeitsentwicklungen zu. Zur gleichzeitigen Bewertung zahlreicher Versicherungsverträge wird ein hybrides Wahrscheinlichkeitsmaß verwendet. Weiter werden eine seedbasierte Simulationsprozedur zur Kontrolle des Bias bei der Forwärtsdiskretisierung und ein Validierungskonzept vorgeschlagen. Ein numerisches Beispiel rundet den letzten Teil ab.