Felix Dietrich

• In this thesis one considers the periodic homogenization of a linearly coupled magneto-elastic model problem and focuses on the derivation of spectral methods to solve the obtained unit cell problem afterwards. In the beginning, the equations of linear elasticity and magnetism are presented together with the physical quantities used within. After specifying the model assumptions, the system of partial differential equations is rewritten in a weak form for which the existence and uniqueness of solutions is discussed. The model problem then undergoes a homogenization process where the original problem is approximated by a substitute problem with a repeating micro-structural geometry that was generated from a representative volume element (RVE). The following separation of scales, which can be achieved either by an asymptotic expansion or through a two-scale limit process, yields the homogenized problem on the macroscopic scale and the periodic unit cell problem. The latter is further analyzed using Fourier series, leading to periodic Lippmann-Schwinger type equations allowing for the development of matrix-free solvers. It is shown that, while it is possible to craft a scheme for the coupled problem from the purely elastic and magnetic Lippmann-Schwinger equations alone without much additional effort, a more general setting is provided when deriving a Lippmann-Schwinger equation for the coupled system directly. These numerical approaches are then validated with some analytically solvable test problems, before their performance is tested against each other for some more complex examples.
• Die vorliegende Dissertation fokussiert sich auf die periodische Homogenisierung eines linear gekoppelten magneto-elastischen Modellproblems, sowie die Herleitung spektraler Methoden für das dabei entstehende Zellenproblem. Zu Beginn werden die Gleichung der linearen Elastizität und des Magnetismus, sowie die dabei auftretenden physikalischen Größen vorgestellt. Nachdem die Annahmen für das Modellproblem konkretisiert wurden, wird das System von partiellen Differentialgleichungen in eine schwache Form überführt, für die anschließend die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung gezeigt wird. Das Modellproblem unterläuft daraufhin einen Homogenisierungsprozess, in dem es zunächst durch ein von einem RVE erzeugten Ersatzproblem mit sich wiederholender Mikrostruktur angenähert wird. Durch die darauf folgende Skalenteilung, die entweder durch Ansetzen einer asymptotischen Folge oder durch einen Zwei-Skalen--Grenzprozess erreicht werden kann, erhält man das homogenisierte Problem auf der makroskopischen Skala und das periodische Zellenproblem. Letzteres wird mittels Fourierreihen weiter betrachtet, um schließlich periodische Lippmann-Schwinger Gleichungen zu erhalten, welche den Entwurf Matrix-freier Löser erlauben. Es wird gezeigt, dass es zwar möglich ist aus den einzelnen Lippmann-Schwinger Gleichungen der rein elastischen und rein magnetischen Probleme ein numerisches Vorgehen ohne nennenswerten Mehraufwand zusammenzusetzen, die direkte Herleitung einer neuen Lippmann-Schwinger Gleichung für das gekoppelte System jedoch eine wesentlich allgemeinere Methodik liefert. Die numerischen Methoden werden abschließend zunächst an analytisch lösbaren Testproblemen validiert und anschließend gegeneinander in komplexeren Beispielen auf ihre Performance getestet.