The thesis "Spektrallücken von indefiniten Sturm-Liouville-Operatoren" is concerned with classes of selfadjoint operators and relations in indefinite inner product spaces. It contains two main results:(A) For locally definitizable relations it is shown that finiteness of the number of eigenvalues in a gap in the essential spectrum is preserved under finite dimensional perturbations.(B) For a sub-class of the locally definitizable relations, namely the relations with finitely many negative squares, eigenvalue estimates are given: The number of eigenvalues of a perturbed relation in a spectral gap in the essential spectrum is estimated from above and below by the number of eigenvalues of the unperturbed relation in the spectral gap and other quantities. Here, only one-dimensional perturbations are considered. Furthermore, it is shown that these estimates are sharp.These abstract results from the first part of the thesis are applied in the second part to Sturm-Liouville operators with an indefinite weight function. In many cases, the estimates are improved.
In der Dissertationsschrift "Spektrallücken von indefiniten Sturm-Liouville-Operatoren" werden verschiedene Klassen von selbstadjungierten Operatoren und Relationen in indefiniten Innenprodukträumen betrachtet. Die Arbeit enthält zwei Hauptergebnisse:(A) Für lokal definisierbare Relationen wird gezeigt, dass die Endlichkeit der Anzahl der Eigenwerte in einer reellen Spektrallücke des essentiellen Spektrums unter endlichdimensionalen Störungen erhalten bleibt.(B) Für eine Unterklasse der lokal definisierbare Relationen, nämlich für Relationen mit endlich vielen negativen Quadraten, werden die Anzahl der Eigenwerte der gestörten Relation in einerreellen Spektrallücke des essentiellen Spektrums nach oben/unten durch die Anzahl der Eigenwerte derungestörten Relation und weiteren Korrekturgrößen abgeschätzt. Dabei werden hier nur eindimensionale Störungen betrachtet. Zudem gelingt der Nachweis, dass die in dieser Promotionsschrift vorgestellten Abschätzungen scharf sind.Diese abstrakten Ergebnisse aus dem ersten Teil der Arbeit werden im zweiten Teil auf Sturm-Liouville-Differentialoperatoren mit einer indefinitenGewichtsfunktion angewandt. In vielen Fällen werden die Abschätzungen leicht verbessert.