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Darvin Mertsch

• Twisted topological K-theory is a twisted version of topological K-theory in the sense of twisted generalized cohomology theories. It was pioneered by Donavan and Karoubi in 1970 where they used bundles of central simple graded algebras to model twists of K-theory. By the end of the last century physicists realised that D-brane charges in the field of string theory may be studied in terms of twisted K-theory. This rekindled interest in the topic lead to a wave of new models for the twists and new ways to realize the respective twisted K-theory groups. The state-of-the-art models today use bundles of projective unitary operators on separable Hilbert spaces as twists and K-groups are modeled by homotopy classes of sections of certain bundles of Fredholm operators. From a physics perspective these treatments are not optimal yet: they are intrinsically infinite-dimensional and these models do not immediately allow the inclusion of differential data like forms and connections. In this thesis we introduce the 2-stack of k-algebra gerbes. Objects, 1-morphisms and 2-morphisms consist of finite-dimensional geometric data simultaneously generalizing bundle gerbes and bundles of central simple graded k-algebras for k either the field of real numbers or the field of complex numbers. We construct an explicit isomorphism from equivalence classes of k-algebra gerbes over a space X to the full set of twists of real K-theory and complex K-theory respectively. Further, we model relative twisted K-groups for compact spaces X and closed subspaces Y twisted by algebra gerbes. These groups are modeled directly in terms of 1-morphisms and 2-morphisms of algebra gerbes over X. We exhibit a relation to the K-groups introduced by Donavan and Karoubi and we translate their fundamental isomorphism -- an isomorphism relating K-groups over Thom spaces with K-groups twisted by Clifford algebra bundles -- to the new setting. With the help of this fundamental isomorphism we construct an explicit Thom isomorphism and explicit pushforward homomorphisms for smooth maps between compact manifolds, without requiring these maps to be K-oriented. Further -- in order to treat K-groups for non-torsion twists -- we implement a geometric cocycle model, inspired by a related geometric cycle model developed by Baum and Douglas for K-homology in 1982, and construct an assembly map for this model.
• Getwistete topologische K-Theorie ist eine getwistete Variante von topologischer K-Theorie im Sinne getwisteter verallgemeinerter Kohomologietheorien. Sie wurde 1970 von Donovan und Karoubi eingeführt, wobei sie Bündel von zentralen einfachen graduierten Algebren zur Realisierung der Twists von K-Theorie benutzten. Ende des letzten Jahrhunderts realisierten Physiker, dass sich D-Brane Charges im Gebiet der Stringtheorie mithilfe von getwisteter K-Theorie untersuchen lassen. Dies führte zu einem neu entfachtem Interesse an gewisteter K-Theorie. Neue Modelle für die Twists und neue Modelle für die entsprechenden getwisteten K-Theorie Gruppen wurden aufgestellt. Der aktuelle Stand der Technik benutzt hierbei Bündel von projektiven unitären Operatoren auf unendlich-dimensionalen separablen Hilberträumen als Twists und modelliert getwistete K-Gruppen mithilfe von Homotopieklassen von Schnitten von bestimmten Bündeln von Fredholmoperatoren. Aus Sicht der physikalischen Motivation sind diese Modelle jedoch noch nicht optimal: Sie sind intrinsisch unendlich-dimensional und erlauben es nicht auf einfache Art und Weise differentielle Daten wie Formen und Zusammenhänge in die Theorie einzuarbeiten. In dieser Arbeit führen wir den 2-Stack der k-Algebra Gerben ein. Objekte, 1-Morphismen und 2-Morphismen bestehen hier aus endlich-dimensionalen geometrischen Daten, welche gleichzeitig Bündelgerben und Bündel von zentralen einfachen graduierten k-Algebren verallgemeinern, wobei k entweder der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der komplexen Zahlen ist. Wir konstruieren explizite Isomorphismen von den Äquivalenzklassen von k-Algebra Gerben über einem Raum X in die volle Menge der Twists von reeller K-Theorie beziehungsweise in die volle Menge der Twists von komplexer K-Theorie. Ferner führen wir um Algebra Gerben getwistete relative K-Theorie Gruppen für kompakte Räume X und abgeschlossene Teilräume Y ein. Diese Gruppen sind dabei direkt mittels 1-Morphismen und 2-Morphismen von k-Algebra Gerben über X modelliert. Wir stellen eine direkte Zurückführung auf die von Donovan und Karoubi eingeführten Gruppen auf und übersetzen ihren Fundamentalisomorphismus -- ein Isomorphismus welcher K-Gruppen über Thom-Räumen mit um Cliffordalgebren getwisteten K-Gruppen in Beziehung setzt -- in unser Modell. Mithilfe dieses Fundamentalisomorphismus konstruieren wir einen expliziten Thom-Isomorphismus und Pushforward Homomorphismus für glatte Abbildungen zwischen kompakten Mannigfaltigkeiten, ohne die K-Orientiertheit für solche Abbildungen zu verlangen. Schließlich -- um K-Gruppen für Nichttorsionstwist umzusetzen -- führen wir ein geometrisches Kozykel Modell ein, welches an ein entsprechendes geometrisches Zykel Modell von Baum und Douglas von 1982 angelehnt ist, und stellen Assemblierungsabbildungen auf.