Long Time Behavior of the Spinor Flow

Gegenstand dieser Arbeit ist das Langzeitverhalten des Spinorflusses in zwei verschiedenen Situationen. Der Spinorfluss ist ein geometrischer Fluss, der als der negative Gradientenfluss der spinoriellen Energie definiert ist. Die spinorielle Energie ist Funktion einer Riemannschen Metrik und eines Einheitsspinorfeldes. Ab Dimension drei sind kritische Punkte Ricci-flache Metriken mit spezieller Holonomie. In Dimension zwei kann man ein Paar einer Metrik und eines Einheitspinorfeldes als eine verallgemeinerte isometrische Immersion und die Spinorenergie als eine verallgemeinerte Willmoreenergie interpretieren. Das erste Thema der Dissertation ist die Stabilität des Spinorflusses ab Dimension drei. Es wird bewiesen, dass kritische Punkte der spinoriellen Energie stabil sind. Das heißt, dass der Spinorfluss mit Anfangswerten nahe dem kritischen Punkt unendlich lange existiert und konvergiert. Die kritischen Punkte der spinoriellen Energie eingeschränkt auf Metriken konstanten Volumens sind geometrisch ebenfalls von großem Interesse. Ein solcher kritischer Punkt ist ebenfalls stabil im obigen Sinne, falls er ein lokales Minimum ist, die kritische Menge nahe diesem Punkt hinreichend glatt ist und die Isometriegruppe der Metrik diskret ist. Die Konvergenzgeschwindigkeit hängt von der Regularität der kritischen Menge ab. Das zweite Themengebiet ist der Spinorfluss auf geschlossenen Flächen positiven Geschlechts. Falls eine Lösung des Spinorflusses auf einem endlichen Intervall gegeben ist, dann stellt sich die Frage, unter welchen Bedingungen sich der Fluss über die Intervallgrenze hinaus fortsetzen lässt. Es wird gezeigt, dass eine Schranke an den Injektivitätsradius und an ein bestimmtes Integral der zweiten Ableitung des Spinorfeldes dafür ausreichend ist. Daraus lässt sich ein punktweises Kriterium ableiten. Die Beweise dieser Kriterien basieren auf einem neuen Kompaktheitssatz für Familien von Metriken auf geschlossenen Flächen positiven Geschlechts.