The smallest singular value of tensor matrices

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der kleinsten singulären Zahl von quadratischen Zufallsmatrizen, deren Einträge unabhängige subgaußsche Zufallsvariable sind. Singuläre Zahlen von Zufallsmatrizen sind selbst wieder Zufallsvariablen, weswegen Aussagen über sie stochastischer Natur sind. Wir bestimmen die Größenordnung des Erwartungswertes der kleinsten singulären Zahl einer quadratischen Gaußmatrix mit gestörter letzter Spalte, d.h. alle Einträge der Zufallsmatrix sind unabhängige, zentrierte Gaußvariablen, allerdings ist die Varianz der Einträge der letzten Spalte sehr klein, wohingegen die anderen Einträge standard normalverteilt sind. Dieses Beispiel einer quadratischen Zufallsmatrix mit nicht notwendigerweise identisch verteilten Einträgen ist entscheidend um das Verhalten der kleinsten singulären Zahl zu verstehen. Im Fall allgemeinerer quadratischen Tensormatrizen mit unabhängigen subgaußschen Einträgen schätzen wir die Wahrscheinlichkeit, dass die kleinste singuläre Zahl kleiner/ größer als eine gewisse Schranke ist, ab. Wir benutzen dazu eine Technik namens decomposition of the sphere, die auf M. Rudelson und R. Vershynin zurückgeht, in welcher die Euklidische Sphäre in komprimierbare Vektoren, d.h. Einheitsvektoren, die den größten Teil ihrer Maße in wenigen Koordinaten tragen und nicht komprimierbare Vektoren zerlegt wird. Dies ist in diesem Zusammenhang ein neuartiges Vorgehen, da wir die Eigenschaften der Zerlegung nutzen, um uns in die Lage zu versetzen, die Hölder Ungleichung einsetzen zu können um die Vorfaktoren zu eliminieren. Wir haben auch das Vorgehen von M. Rudelson und R. Vershynin verallgemeinert, um die Tail Wahrscheinlichkeit der kleinsten singulären Zahl explizit zu berechnen. Wir zeigen außerdem, dass man diese Abschätzungen auf Zufallsmatrizen, die geringfügig von der quadratischen Form abweichen, ausweiten kann, wenn man die Voraussetzungen lockert.