Entropic gradient flow structure of quantum Markov semigroups

Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die Konstruktion einer nichtkommutativen Transportmetrik, die es erlaubt, spursymmetrische vollständig Markovsche Halbgruppen als Gradientenfluss eines Entropiefunktionals aufzufassen. Eine vollständig Markovsche Halbgruppe ist eine Halbgruppe von unitalen, vollständig positiven Operatoren auf einer von Neumann algebra mit gewissen Stetigkeitseigenschaften. Ein Gradientenfluss eines Funktionals auf einem metrischen Raum ist eine Kurve, die zu jedem Zeitpunkt in die Richtung des steilsten Abstieges fließt. Es ist in einer Reihe von Fällen bekannt, dass man die Gradientenflüsse der Boltzmann-Entropie oder ihres nichtkommutativen Analogons, der von Neumann-Entropie, bezüglich geeigneter Transportmetriken als Lösungen von linearen Evolutionsgleichungen charakterisieren kann, zum Beispiel der Wärmeleitungsgleichung oder der Lindblad Master Equation. In dieser Arbeit wird gezeigt, dass das gemeinsame zugrundeliegende Prinzip in all diesen Fällen die Markoveigenschaft der linearen Evolutionsgleichung ist. Dazu wird für eine gegebene spursymmetrische vollständig Markovsche Halbgruppe eine Transportmetrik auf dem Raum der Dichteoperatoren konstruiert, die die Metriken in den oben genannten Fällen verallgemeinert. Es wird bewiesen, dass unter geeigneten Voraussetzungen die gegebene Halbgruppe der eindeutige Gradientenfluss der von Neumann-Entropie ist. Als Konsequenzen werden Semikonvexität der Entropie entlang von Geodäten und Funktionalungleichungenfür die Halbgruppe diskutiert.