Ground states and spectral properties in quantum field theories
In this thesis we consider non-relativistic quantum electrodynamics in dipole approximation and study low-energy phenomenons of quantum mechanical systems. We investigate the analytic dependence of the lowest-energy eigenvalue and eigenvector on spectral parameters of the system. In particular we study situations where the ground-state eigenvalue is assumed to be degenerate. In the first situation the eigenspace of a degenerate ground-state eigenvalue is assumed to split up in a specific way in second order formal perturbation theory. We show, using a mild infrared assumption, that the emerging unique ground state and the corresponding ground-state eigenvalue are analytic functions of the coupling constant in a cone with apex at the origin. Secondly we analyse the situation that the degeneracy is protected by a set of symmetries for the considered quantum mechanical system. We prove, in accordance with known results for the non-degenerate situation, that the ground-state eigenvalue and eigenvectors depend analytically on the coupling constant. In order to show these results we extend operator-theoretic renormalization to such degenerate situations. To complement the analyticity results we additionally show that an asymptotic expansion of the ground state and the ground-state eigenvalue exists up to arbitrary order. The infrared assumption needed for the asymptotic expansion is weaker than the usual assumptions required for other methods such as operator theoretic renormalization to be applicable.
In der vorliegenden Arbeit betrachten wir Modelle der nicht-relativistischen Quantenelektrodynamik in Dipol-Approximation und studieren Phänomene, die bei kleinen Energien in diesen quanten-mechanischen Systemen auftreten. Wir untersuchen die analytische Abhängigkeit des kleinsten Energie-Eigenwertes und der zugehörigen Eigenvektoren im Bezug auf spektrale Parameter des Systems. Insbesondere untersuchen wir Situationen, in denen der Grundzustandseigenwert entartet ist. In der ersten Situation wird angenommen, dass sich der Eigenraum des Grundzustandseigenwertes in zweiter Ordnung in formaler Störungstheorie in bestimmter Weise aufspaltet. Wir zeigen unter Annahme einer schwachen Infrarot-Bedingung, dass der durch die Aufspaltung entstandene nicht-entartete Grundzustand und die zugehörige Grundzustandsenergie analytische Funktionen der Kopplungskonstante in einem Kegel mit Spitze im Ursprung sind. Im zweiten Fall untersuchen wir die Situation, dass die Entartung durch eine Menge von Symmetrien im Systems erzeugt wird. Unter bestimmten Voraussetzungen zeigen wir, dass der Grundzustand und die Grundzustandsenergie analytische Funktionen der Kopplungskonstante sind. Dieses Ergebnis stimmt mit entsprechenden Ergebnissen für nicht-entartete Situationen überein. Um diese Resultate zu zeigen erweitern wir die Methode ’operator-theoretic renormalization’ auf diese entarteten Situationen. Ergänzend zu den obrigen Analytizitätsergebnisse zeigen wir, dass eine asymptotische Entwicklung, zu beliebiger Ordnung, des Grundzustandes und der Grundzustands-Energie existiert. Die dafür benötigte Infrarot-Bedingung ist schwächer als die üblichen Bedingungen die gebraucht werden damit andere Methoden, wie zum Beispiel ’operator-theoretic renormalization’, anwendbar sind.
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