Three-dimensional four-fermion theories with exact chiral symmetry on the lattice
Four-fermion theories are quantum field theories that describe interactions between fermions via a fourth power of the field in the Lagrangian. Formulated in three spacetime dimensions, their purpose is twofold. On the one hand, they serve as low-energy descriptions of newly discovered materials like graphene. On the other hand, they are interesting as models for spontaneous symmetry breaking. Four-fermion theories allow various different realisations of chiral symmetry and the present work investigates the conditions of their spontaneous breaking. In this work, four-fermion models are formulated on a discrete spacetime lattice, which allows computer simulations. Most previous lattice regularisations did not respect the full chiral symmetry of the corresponding continuum models. Here, we follow a superior approach using the SLAC derivative, allowing an exact implementation of all internal symmetries. We first study the well-known Z_2-symmetric Gross-Neveu model, where a second-order phase transition exists for any number of fermion flavours Nf. Here, new values for the critical exponents of this transition for Nf=1,2,4 and 8 are calculated. For Nf=1 we provide the first values from a lattice field theory setup. The second model studied in this thesis is the Thirring model. Most previous works only found a spontaneously broken phase for a small number of fermion flavours below a critical value Nfc. Various approaches to investigate chiral symmetry breaking for the Thirring model are presented here. In summary, we never observe chiral symmetry breaking in our current simulations. Finally, a new formulation of four-fermion theories is introduced using dual variables acting as occupation numbers for the lattice points.
Vier-Fermion-Theorien sind Quantenfeldtheorien, die eine Wechselwirkung zwischen Fermionen durch eine vierte Potenz des Feldes in der Lagrangedichte beschreiben. In drei Raumzeitdimensionen haben sie zwei unterschiedliche Nutzen. Einerseits können sie zur Beschreibung des Nieder-Energie-Verhaltens neu entdeckter Materialien wie Graphen benutzt werden. Andererseits sind sie interessante Modelle für spontane Symmetriebrechung. Vier-Fermion-Theorien erlauben verschiedene unterschiedliche Realisierungen von chiraler Symmetrie und die vorliegende Arbeit untersucht Bedingungen für deren spontane Brechung. In dieser Arbeit werden die Modelle auf einem diskreten Raumzeit-Gitter formuliert, sodass Computersimulationen möglich sind. Die meisten bisher untersuchten Gitterregularisierungen erfüllten aber nicht die vollständige chirale Symmetrie des zugehörigen Kontinuumsmodells. Hier benutzen wir mit der SLAC-Ableitung einen besseren Ansatz, der eine exakte Umsetzung aller internen Symmetrien erlaubt. Wir untersuchen zunächst das gut erforschte Z_2-symmetrische Gross-Neveu-Modell, in dem es für eine beliebige Anzahl an Fermion-Flavours Nf einen Phasenübergang zweiter Ordnung gibt. Neue Werte für die kritischen Exponenten dieses Übergangs werden für Nf=1,2,4 und 8 berechnet. Für Nf=1 präsentieren wir die ersten Werte aus einem Gitterfeldtheorie-Ansatz. Weiterhin wird das Thirring-Modell untersucht. Eine spontan gebrochene Phase wurde in den meisten bestehenden Arbeiten nur für eine kleine Anzahl an Fermion-Flavours gefunden, solange diese kleiner als eine kritische Zahl Nfc ist. In der vorliegenden Arbeit werden zahlreiche Ansätze zur Untersuchung der chiralen Symmetriebrechung auf dem Gitter vorgestellt. Dabei wurde nie chirale Symmetriebrechung in den Simulationen beobachtet. Abschließend führen wir eine neue Formulierung von Vier-Fermion-Theorien mit dualen Variablen ein, die die Rolle von Besetzungszahlen der Gitterpunkte übernehmen.
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