Nonlinear interactions of gravitational waves
This work presents the foundations of a new solution technique for the characteristic initial value problem of colliding plane gravitational waves. It has extensive similarities to the approach of Alekseev and Griffiths in 2001, but uses the inverse scattering method with a Riemann-Hilbert problem. This allows for a further transformation to a continuous Riemann-Hilbert problem with a solution given in terms of an integral equation for a regular unknown function. Ambiguities in the solution of the initial Riemann-Hilbert problem lead to the construction of a whole family of exact spacetimes generalising the proper solution of the initial value problem. Therefore the described technique also serves as an interesting solution generating method. The procedure is exemplified by extending the Szekeres class of colliding wave spacetimes with two additional real parameters. The obtained solution features a limiting case of a new type of impulsive waves, which are circularly polarised. A semi-analytic approximation scheme for the solution to the general initial value problem of colliding plane waves is introduced.
Diese Arbeit präsentiert die Grundlagen einer neuen Lösungstechnik für das charakteristische Anfangswertproblem kollidierender ebener Gravitationswellen. Sie weist deutliche Ähnlichkeiten zu einem 2001 von Alekseev und Griffiths beschriebenen Verfahren auf, verwendet jedoch die inverse Streumethode mit einem Riemann-Hilbert-Problem. Dies erlaubt eine weitere Transformation zu einem stetigen Riemann-Hilbert-Problem, dessen Lösung in Form einer Integralgleichung für eine reguläre unbekannte Funktion gegeben ist. Mehrdeutigkeiten in der Lösung des anfänglichen Riemann-Hilbert-Problems führen zur Konstruktion einer ganzen Familie exakter Raumzeiten, welche die eigentliche Lösung des Anfangswertproblems verallgemeinert. Deshalb kann die vorgestellte Technik auch als eine interessante Methode zur Lösungserzeugung dienen. Das Verfahren wird anhand der Erweiterung der Szekeres-Klasse von Wellenkollisionsraumzeiten %mit kollidierenden Gravitationswellen demonstriert. Die dadurch erhaltene Lösung beinhaltet als Grenzfall einen neuen Typ impulsiver Gravitationswellen mit zirkularer Polarisation. Ein halbanalytisches Approximationsschema für die Lösung des charakteristischen Anfangswertproblems kollidierender ebener Gravitationswellen wird vorgestellt.
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