First integrals in stationary and axially symmetric space-times and sub-riemannian structures

(Erste) Integrale haben sowohl in der Physik als auch in der Mathematik große Bedeutung. Sie sind konstant entlang Lösungen der geodätischen oder Hamiltonschen Gleichungen. Killing-Tensoren entsprechen Integralen, welche homogene Polynome in den Impulsen sind. Die Dissertation untersucht die (Nicht-)Existenz von Integralen für stationär-axialsymmetrische Vakuum-Raumzeiten und sub-Riemannsche Strukturen. Es werden zwei neue Algorithmen vorgestellt, mit denen die Existenz von Killing-Tensoren für stationär-axialsymmetrische Vakuum-Metriken einfach und effizient untersucht werden kann. Mit Hilfe der Algorithmen wird die Nichtexistenz irreduzibler Killing-Tensoren bis zur Valenz 11 für die Darmois-Metrik (eine spezielle Zipoy-Voorhees-Metrik) gezeigt. Für eine nicht-statische Tomimatsu-Sato-Metrik wird die Nichtexistenz bis zum Grad 7 gezeigt. Die Anwendung der Methode für Metriken mit einem reellen Parameter wird an Hand der Zipoy-Voorhees-Metriken demonstriert. Für beliebige statisch-axialsymmetrische Vakuum-Metriken (Weyl-Metriken) zeigt die Arbeit die Reduzibilität involutiver Killing-Tensoren von Valenz 3. Für sub-Riemannsche Strukturen auf Distributionen vom Rang 2 in Carnot-Gruppen wird der Zusammenhang von Liouville-Integrabilität und der Größe der Symmetriealgebren untersucht. Es wird gezeigt, dass es sub-Riemannsche Strukturen gibt, die zwar ein hohes Maß an Symmetrie, aber nicht genügend Integrale für Liouville-Integrabilität besitzen.