Subharmonic functions and real-valued differential forms on non-archimedean curves

Dokumentenart:	Hochschulschrift der Universität Regensburg (Dissertation)
Open Access Art:	Primärpublikation
Datum:	18 Juli 2019
Begutachter (Erstgutachter):	Prof. Dr. Walter Gubler
Tag der Prüfung:	10 Juli 2019
Institutionen:	Mathematik > Prof. Dr. Walter Gubler
Stichwörter / Keywords:	Non-archimedean potential theory, Superforms, Berkovich spaces, Tropical geometry, Poincaré duality
Dewey-Dezimal-Klassifikation:	500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Status:	Veröffentlicht
Begutachtet:	Ja, diese Version wurde begutachtet
An der Universität Regensburg entstanden:	Ja
Dokumenten-ID:	40530

Zusammenfassung (Englisch)

We show that the approach by Chambert-Loir and Ducros of defining plurisubharmonic functions on Berkovich spaces via real-valued differential forms is an extension of Thuillier's very well developed theory on non-archimedean curves. More precisely, we prove that a continuous function on the Berkovich analytification of a smooth proper algebraic curve over a non-archimedean field is ...

Zusammenfassung (Englisch)

We show that the approach by Chambert-Loir and Ducros of defining plurisubharmonic functions on Berkovich spaces via real-valued differential forms is an extension of Thuillier's very well developed theory on non-archimedean curves.
More precisely, we prove that a continuous function on the Berkovich analytification of a smooth proper algebraic curve over a non-archimedean field is plurisubharmonic in the sense of Chambert-Loir and Ducros if and only if it is subharmonic in the sense of Thuillier. Hence Thuillier's theory enables us to verify some of the characteristic properties of plurisubharmonic functions for this new approach by Chambert-Loir and Ducros. For example, it follows directly that for continuous functions being plurisubharmonic is stable under pullback with respect to morphisms of curves. Moreover, we deduce an analogue of the monotone regularization theorem on the Berkovich analytifications of the projective line and Mumford curves.

Furthermore, we study the tropical Dolbeault cohomology for the Berkovich analytifications of the projective line and Mumford curves. We show that it satisfies Poincaré duality and
behaves analogously to the cohomology of curves over the complex numbers. We also give a complete calculation of the dimension of the cohomology on a basis of the topology.

Another part of this thesis is a generalization of the Energy Minimization Principle to the analytification of a general smooth proper curve over a non-archimedean field. This was known before only for the Berkovich analytification of the projective line by work of Baker and Rumely. As an application, we generalize an equidistribution result on elliptic curves due to Baker and Petsche.

Übersetzung der Zusammenfassung (Deutsch)

Wir zeigen, dass der Ansatz von Chambert-Loir und Ducros, plurisubharmonische Funktionen auf Berkovich Räumen zu definieren, mit Thuilliers sehr gut entwickelter Theorie von subharmonischen Funktionen auf nicht-archimedischen Kurven übereinstimmt. Genauer gesagt, beweisen wir, dass eine stetige Funktion auf der Berkovich Analytifizierung einer glatten projektiven Kurve über einem ...

Übersetzung der Zusammenfassung (Deutsch)

Wir zeigen, dass der Ansatz von Chambert-Loir und Ducros, plurisubharmonische Funktionen auf Berkovich Räumen zu definieren, mit Thuilliers sehr gut entwickelter Theorie von subharmonischen Funktionen auf nicht-archimedischen Kurven übereinstimmt. Genauer gesagt, beweisen wir, dass eine stetige Funktion auf der Berkovich Analytifizierung einer glatten projektiven Kurve über einem nicht-archimedischen Körper genau dann plurisubharmonisch im Sinne von Chambert-Loir und Ducros ist, wenn sie subharmonisch im Sinne von Thuillier ist. Im Gegensatz zu Thuilliers sehr gut verstandener Theorie der subharmonischen Funktionen ist über den Ansatz von Chambert-Loir und Ducros noch relativ wenig bekannt. Wir können die obengenannte Äquivalenz nutzen, um auch charakteristische Eigenschaften für diese Klasse von plurisubharmonischen Funktionen zu zeigen. Zum Beispiel wird direkt impliziert, dass stetige plurisubharmonische Funktionen stabil unter Pullback bezüglich Morphismen von Kurven sind. Darüber hinaus können wir in der Theorie von Chambert-Loir und Ducros ein Regularisierungstheorem auf der Berkovich Analytifizierung der projektiven Gerade und Mumford Kurven folgern.

Des Weiteren studieren wir die tropische Dolbeault Kohomologie für die Berkovich Analytifizierung der projektiven Gerade und Mumford Kurven. Wir zeigen, dass sie die Poincaré Dualität erfüllt und sich analog zur Kohomologie von Kurven über den komplexen Zahlen verhält. Wir berechnen auch die Dimensionen der Kohomologie auf einer Basis der Topologie.

Einen weiteren Teil dieser Arbeit stellt die Verallgemeinerung des Prinzips der minimalen Energie dar, welches von Baker und Rumely für die Analytifizierung der projektiven Gerade gezeigt wurde. Wir beweisen das Prinzip der minimalen Energie für die Berkovich Analytifizierung von allgemeinen glatten projektiven Kurven über nicht-archimedischen Körpern. Als Anwendung können wir einen Gleichverteilungssatz für elliptischen Kurven von Baker und Petsche neu beweisen und verallgemeinern.

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