Coupled limit-cycle oscillators exhibit interesting collective phenomena, like synchronization and pattern formation. Effective models of the classical phase dynamics in these systems have been very successful in describing these effects. Important examples are the canonical Kuramoto model and the Kuramoto-Sakaguchi model. In this thesis, we study a closely related, slightly more general effective phase model, which we call Hopf-Kuramoto model. We focus on the phase dynamics in one-dimensional and two-dimensional lattices.

One central topic is the pattern formation in the deterministic model. As a main result, we present the pattern phase diagram for two-dimensional arrays. This diagram illustrates which patterns are relevant in the long-time dynamics, after starting from random initial conditions, in dependence on the parameters of the model. We examine details of important stationary and non-stationary patterns. This includes the shape and movement of spiral structures, as well as their influence on correlations. Regarding one-dimensional systems, we find smooth stationary patterns with characteristic defects and solitary-wave-like structures in different limiting cases of our model.

Subsequently, we discuss the stochastic dynamics. We study the effects of noise on some of the patterns found in the deterministic case. We then continue with an analysis of a limiting case of the Hopf-Kuramoto model, the noisy Kuramoto-Sakaguchi model. For smooth phase fields, this model is related to the Kardar-Parisi-Zhang model of surface growth. This enables us to explain scaling properties of the phase field with time, as well as a sudden desynchronization process which we find in simulations.

As an example of a system where our model is applicable, we discuss future optomechanical arrays. Moreover, we show that the derivation of the Hopf-Kuramoto model is based on very general assumptions about the dynamics of nonlinear oscillators close to their limit cycle. Hence, our results are relevant for a large class of experiments on arrays of locally coupled oscillators.

Gekoppelte Grenzzyklus-Oszillatoren zeigen interessante kollektive Phänomene, wie Synchronisation und Musterbildung. Effektive Modelle der klassischen Phasendynamik in diesen Systemen waren sehr erfolgreich in der Beschreibung dieser Effekte. Wichtige Beispiele sind das kanonische Kuramoto-Modell und das Kuramoto-Sakaguchi-Modell. In dieser Arbeit untersuchen wir ein eng verwandtes, etwas allgemeineres effektives Phasenmodell, das wir Hopf-Kuramoto-Modell nennen. Wir konzentrieren uns auf die Phasendynamik in eindimensionalen und zweidimensionalen Gittern.

Ein zentrales Thema ist die Musterbildung im deterministischen Modell. Als Hauptergebnis präsentieren wir das Muster-Phasendiagramm für zweidimensionale Anordnungen. Dieses Diagramm zeigt, welche Muster in der Langzeitdynamik relevant sind, nach einem Start mit zufälligen Anfangsbedingungen und in Abhängigkeit der Parameter des Modells. Wir untersuchen Details von wichtigen stationären und nicht-stationären Mustern. Das beinhaltet sowohl die Form und Bewegung von Spiralstrukturen als auch deren Einfluss auf die Korrelationen. Was eindimensionale Systeme betrifft, so finden wir glatte stationäre Muster mit charakteristischen Defekten und Strukturen, die Einzelwellen ähneln, in verschiedenen Grenzfällen unseres Modells.

Anschließend diskutieren wir die stochastische Dynamik. Wir untersuchen die Einflüsse des Rauschens auf einige der Muster, die wir im deterministischen Fall gefunden haben. Dann fahren wir mit einer Analyse eines Grenzfalls des Hopf-Kuramoto-Modells, dem verrauschten Kuramoto-Sakaguchi-Modell, fort. Für glatte Phasenfelder ist dieses Modell verwandt mit dem Kardar-Parisi-Zhang-Modell für Oberflächenwachstum. Das ermöglicht es uns sowohl Skalierungseigenschaften des Phasenfeldes mit der Zeit als auch einen plötzlichen Desynchronisationsprozess, den wir in Simulationen finden, zu erklären.

Als Beispiel eines Systems, auf das unser Modell anwendbar ist, diskutieren wir zukünftige optomechanische Gitter. Außerdem zeigen wir, dass die Herleitung des Hopf-Kuramoto-Modells auf sehr allgemeinen Annahmen über die Dynamik von nichtlinearen Oszillatoren in der Nähe ihres Grenzzyklus beruht. Deshalb sind unsere Ergebnisse für eine große Klasse von Experimenten mit Anordnungen von lokal gekoppelten Oszillatoren relevant.