Triangulations, which can intuitively be described as a tessellation of space into simplicial building blocks, are structures that arise in various different branches of physics: They can be used for describing complicated and curved objects in a discretized way, e.g., in foams, gels or porous media, or for discretizing curved boundaries for fluid simulations or dissipative systems. Interpreting triangulations as (maximal planar) graphs makes it possible to use them in graph theory or statistical physics, e.g., as small-world networks, as networks of spins or in biological physics as actin networks. Since one can find an analogue of the Einstein-Hilbert action on triangulations, they can even be used for formulating theories of quantum gravity. Triangulations have also important applications in mathematics, especially in discrete topology.

Despite their wide occurrence in different branches of physics and mathematics, there are still some fundamental open questions about triangulations in general. It is a prior unknown how many triangulations there are for a given set of points or a given manifold, or even whether there are exponentially many triangulations or more, a question that relates to a well-defined behavior of certain quantum geometry models. Another major unknown question is whether elementary steps transforming triangulations into each other, which are used in computer simulations, are ergodic. Using triangulations as model for spacetime, it is not clear whether there is a meaningful continuum limit that can be identified with the usual and well-tested theory of general relativity.

Within this thesis some of these fundamental questions about triangulations are answered by the use of Markov chain Monte Carlo simulations, which are a probabilistic method for calculating statistical expectation values, or more generally a tool for calculating high-dimensional integrals. Additionally, some details about the Wang-Landau algorithm, which is the primary used numerical method in this thesis, will be examined in detail.

Triangulierungen, die anschaulich eine Zerlegung eines Raums in simpliziale Grundbausteine sind, haben eine große Bedeutung in verschiedenen Bereichen der Physik: Sie werden verwendet, um komplizierte und gekrümmte Objekte wie Schäume, Gele oder poröse Materialien in einer diskretisierten From zu beschreiben, oder um gekrümmte Randbedingungen in Fluidsimulationen oder dissipativen Systemen zu diskretisieren. Indem man Triangulierungen als (maximal planare) Graphen interpretiert, können sie in der Graphentheorie oder der statistischen Physik eingesetzt werden, beispielsweise als Kleine-Welt-Netzwerke, als Spinnetzwerke oder in der biologischen Physik als Aktinnetzwerke. Da eine zur Einstein-Hilbert-Wirkung analoge Form einer Wirkung auf Triangulierungen bestimmt werden kann, ist es sogar möglich, mit ihrer Hilfe Theorien in der Quantengravitation zu formulieren. Weiterhin gibt es für Triangulierungen wichtige Anwendungen in der Mathematik, insbesondere in der diskreten Topologie.

Trotz ihrer Bedeutung in den verschiedensten Teilgebieten der Physik und der Mathematik sind immer noch einige wichtige Fragen über Triangulierungen unbeantwortet. So ist a priori unbekannt, wie viele verschiedene Triangulierungen es zu einer gegebenen Punktmenge oder zu einer gegebenen Mannigfaltigkeit gibt, oder ob es in Abhängigkeit der Systemgröße exponentiell viele oder mehr Triangulierungen gibt (diese Frage ist von Bedeutung für die Konvergenz bestimmter Modelle in der Quantengeometrie). Eine weitere wichtige und zugleich ungeklärte Frage ist, ob die elementaren Schritte, die in Computersimulationen zur Transformation von Triangulierungen verwendet werden, ergodisch sind. Verwendet man Triangulierungen in Modellen für quantisierte Raumzeiten, ist es ebenfalls nicht bekannt, ob ein sinnvoller Kontinuumsgrenzwert existiert, und ob ein eventuell existierender Grenzwert der vielfachexperimentell bestätigten allgemeinen Relativitätstheorie entsprechen würde.

In der vorliegenden Arbeit werden dieser fundamentalen Fragen mit Hilfe von Monte-Carlo-Simulationen untersucht. Diese Simulationen sind im Allgemeinen ein Werkzeug zur Berechnung von hochdimensionalen Integralen, und in der statistischen Physik im Speziellen eine probabilistische Methode zur Berechnung von Erwartungswerten oder höheren Momenten. In der vorliegenden Arbeit hauptsächlich der Wang-Landau-Algorithmus als Spezialfalle einer Monte-Carlo-Simulation verwendet, und daher ebenfalls einige seiner Eigenschaften im Detail untersucht.