Most of the recent experimental achievements in the field of optomechanics, e.g. ground state cooling of a vibrational mode, were realized in single-mode optomechanical systems comprising one vibrational degree of freedom that interacts with one optical degree of freedom via radiation pressure. In the present thesis, we theoretically study multi-mode optomechanical systems that are made of multiple optical and multiple vibrational modes.

We first propose and analyze a scalable scheme in which linear quantum operations can be performed on a set of vibrational modes by simply modulating the amplitude of the laser beam that drives the system. The generation of entanglement between distinct vibrational modes and squeezed mechanical states is analyzed. Moreover, we investigate the feasibility of state transfers between distinct vibrational modes.

Next, we focus on the many-body dynamics of photons and phonons in a lattice with optomechanical on-site interaction and introduce the optomechanical band structure as a means to describe the linearized dynamics of the many-body non-equilibrium system. We then turn to describe its main features, i.e. the formation of photon-phonon polaritions and an array version of self-induced mechanical oscillations, and discover a novel entangling instability that is only present in multi-mode systems. Finally, we provide a universal stability diagram which is valid for all symmetric multi-band lattices.

Subsequently, we turn to optomechanical arrays with a honeycomb geometry and investigate the emergence of photon-phonon Dirac polaritons. In contrast to the usual case, Dirac polaritons feature dispersive edge states, which consequently gives rise to polarition transport along the edge, which is tunable via the driving laser. Putting the large external tunability of optomechanical arrays to use, we predict a version of Klein tunneling for photons. A peculiarity of this effect is that photons can be interconverted into phonons while tunneling through the barrier that is solely created by shaping the beam of the driving laser.

As a next step, we propose two schemes to all-optically create gauge fields for photons in optomechanical arrays and analyze their feasibility numerically. Moreover, we study photon transport and generalize the photonic gauge field to include the optomechanical coupling to phonons. To this end, we introduce a synthetic photon-phonon dimension that provides a universal description of optomechanical gauge fields.

Finally, we investigate the interplay of the surface modes of a levitated fluid droplet with its rotation. For this purpose, we extend the liquid drop model of nuclear physics to include the rotation of the droplet. We derive a Lagrangian to leading order, using the Euler angles and the amplitudes of the lowest energy surface modes as generalized coordinates. Finally, we display the lengthy and highly non-linear equations of motion.

Die meisten der letzten großen experimentellen Erfolge auf dem Gebiet der Optomechanik, wie z.B. das Kühlen einer mechanischen Mode in ihren quantenmechanischen Grundzustand, wurden in optomechanischen Systemen erzielt, in denen eine einzige optische Mode über den Strahlungsdruck des Lichtes an eine einzige mechanische Mode koppelt. In der vorliegenden Dissertation werden wir optomechanische Systeme, die aus mehreren optischen und mehreren mechanischen Moden bestehen, theoretisch untersuchen.

Im ersten Teil der Arbeit schlagen wir eine skalierbare, optomechanische Architektur vor, in der lineare Quantenoperationen auf Vibrationsmoden angewendet werden können, indem die Amplitude des treibenden Lasers zeitlich moduliert wird. Wir analysieren die Erzeugung von verschränkten Zuständen zwischen unterschiedlichen mechanischen Moden, sowie die Generierung von gequetschten Zuständen. Des Weiteren untersuchen wir, ob Zustände zwischen verschiedenen Moden transferiert werden können.

Als nächstes führen wir die optomechanische Bandstruktur ein und zwar als ein Konzept, um die linearisierte Nichtgleichgewichts-Dynamik des Vielteilchen-Systems zu beschreiben. Das Vielteilchen-System besteht hierbei aus den Photonen und Phononen des optomechanischen Gitters, welche auf den Gitterplätzen miteinander wechselwirken. Wir beschreiben die wichtigsten Phänomene und Eigenschaften der Bandstruktur, wie z.B. die Bildung von Photon-Phonon-Polaritonen und eine Spielart von selbst-induzierten mechanischen Schwingungen des Gitters. Des Weiteren beschreiben wir eine neuartige Instabilität, welche zur Verschränkung von Photonen führt und nur in optomechanischen Gittern beobachtet werden kann. In optomechanischen Systemen mit einer optischen und einer mechanischen Mode gibt es diese Instabilität hingegen nicht. Schließlich erarbeiten wir ein universelles Stabilitätsdiagramm, welches die Frage nach der Stabilität der linearisierten Dynamik für alle symmetrischen Gitter mit einem oder mehreren Bändern beantwortet.

Im darauffolgenden Kapitel studieren wir ein spezielles optomechanisches Gitter mit einer Honigwaben-Symmetrie, in welchem wir die Bildung von Photon-Phonon-Dirac-Polaritonen betrachten. Im Gegensatz zu dem bekannten Fall von Elektronen in Graphen bilden die besagten Polaritonen dispersive Randzustände, deren Spektrum durch den Treiblaser veränderbar ist. Eine interessante Anwendung der generell großen Kontrolle über die Dynamik von optomechanischen Gittern durch den Treiblaser ist ein von uns vorgeschlagener photonischer Klein-Tunneleffekt. Eine Besonderheit dieses Effektes ist, dass Photonen während des Tunnelns durch die Barrieren in Phononen (und andersherum) umgewandelt werden können. Die Barrieren werden dabei einzig durch den Treiblaser erzeugt, dessen Lichtfeld dazu räumlich passend geformt wird.

Im anschließenden Kapitel schlagen wir zwei Schemata zur optischen Erzeugung von Eichfeldern für die Photonen in optomechanischen Gittern vor und analysieren deren Realisierbarkeit numerisch. Wir untersuchen den Transport von Photonen im Gitter in Anwesenheit des Eichfeldes und verallgemeinern das photonische Eichfeld, so dass es die Kopplung an die Phononen an den Gitterplätzen mit einschließt. Zu diesem Zweck führen wir eine synthetische Photon-Phonon Dimension ein und finden eine universelle Beschreibung von Eichfeldern in optomechanischen Gittern.

Im letzten Kapitel untersuchen wir die Wechselwirkung von Oberflächenmoden eines schwebenden Flüssigkeitströpfchens mit dessen Rotation. Zu diesem Zweck erweitern wir das, auf dem Gebiet der frühen Kernphysik gebräuchliche, Tröpfchenmodell des Atomkerns um eine freie Rotation. Wir leiten eine Lagrange-Funktion in führender Ordnung her, wobei wir die Eulerwinkel und die Amplituden der Oberflächenmoden mit der kleinsten Eigenfrequenz als generalisierte Koordinaten verwenden. Schlussendlich finden wir die umfangreichen und hochgradig nichtlinearen Bewegungsgleichungen.