Simulating Structure Formation in Soils across Scales using Discontinuous Galerkin Methods
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This thesis deals with mathematical modeling, analysis, and numerical realization of microaggregates in soils. These microaggregates have the size of a few hundred micrometers and can be understood as the fundamental building units of soil. Thus, understanding their dynamically evolving, three-dimensional structure is crucial for modeling and interpreting many soil parameters such as diffusivities and flow paths that come into play in CO2-sequestration or oil recovery scenarios.
Among others, the following aspects of the formation of microaggregates should be incorporated into a mathematical model and investigated in more detail: the spatial heterogeneity of the temporally evolving structure of microaggregates and the different processes that take place on different scales — temporal and spatial — within the so-called micro-scale itself. This work aims at formulating a process-based pore-scale model, where all chemical species are measured in concentrations. That is, we have a continuous model for reactive transport mainly in terms of partial differential equations (PDEs) with algebraic constraints. This continuous model is defined on a discrete and discretely moving domain whose geometry changes according to the rules of a cellular automaton method (CAM). These rules describe the restructuring of the porous matrix, growth and decay of biomass, and the resulting topological changes of a wetting fluid and a gas phase. The cellular automaton rules additionally imply stochastic aspects that are important on the pore-scale.
Moreover, effects and knowledge deduced from the model are transfered to scales which are more relevant for applications. The quality of these averaged models is of general interest, since simulations for the field-scale that resolve the pore-scale are not applicable for economical reasons. Thus, this book compares parameterizations of diffusivities with mathematically rigorous results and gives suggestions to improve the formulas that can be found in the literature.
The discrete movement of the microaggregates’ geometry at the micro-scale poses mathematical problems. The following question arises: Can the averaged quantities deduced from the pore-scale really be used for models on other scales or are the impacts of the artificial temporal jumps too detrimental for the solutions on other scales to be accurate? In the following, this problem is also dealt with, and the reliability of the obtained parameters is underlined.
Last but not least, it is imperative to apply a proper numerical method to implement the model in silico. The local discontinuous Galerkin (LDG) method seems to be suitable for this task, since it is locally mass-conservative and is stable for discontinuous data — that might, for example, originate from the discrete movement of the geometry or from the sharp boundaries between the different phases. Additionally, this method has no problems with complicated transfer conditions. These aspects are demonstrated in a mathematically rigorous way, and the method is improved upon by reducing the linear system of equations resulting from the discretization. This is a real enhancement, since it does not diminish the order of convergence but decreases the computational costs.
Abstract
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der mathematischen Modellierung, Analyse und numerischen Umsetzung von Mikroaggregaten im Boden, ihrer Entstehung und den daran beteiligten Prozessen. Mikroaggregate haben die Größe von einigen hundert Mikrometern und werden als elementare Bausteine des Bodens betrachtet. Daher ist ein tiefes Verständnis ihrer evolvierenden, dreidimensionalen Struktur die Grundlage für die Modellierung und Interpretation der meisten Boden-Parameter wie zum Beispiel Diffusivitäten oder Fließwege von Fluiden. Solche Parameter finden beispielsweise Anwendung bei der CO2-Sequestrierung oder der Erdölförderung.
Im Einzelnen sollen folgende Aspekte der Genese von Mikroaggregaten in ein mathematisches Modell integriert und untersucht werden: die räumlich heterogene und zeitlich evolvierende Struktur von Mikroaggregaten und die verschiedenen Prozesse, die schon innerhalb der sogenannten Mikroskala auf unterschiedlichen Skalen stattfinden — sowohl zeitlich, wie auch örtlich. Ziel der Arbeit ist also ein prozess-basiertes Porenskalenmodell bei dem alle chemischen Spezies in Konzentrationen — also gemittelt — betrachtet werden. Dies führt mathematisch auf ein kontinuierliches Modell für reaktiven Transport, das vorwiegend durch partielle Differentialgleichungen mit algebraischen Nebenbedingungen beschrieben wird. Dieses kontinuierliche Modell ist auf einem diskreten Gebiet definiert, das sich auch diskret — nach den Regeln eines zellulären Automaten — bewegt. Die Regeln des zellulären Automaten beschreiben hierbei die Restrukturierung der porösen Matrix, das Wachsen oder Absterben von Biomasse, und die daraus resultierenden Geometrieveränderungen eines benetzenden Fluids und einer Gasphase. Sie beinhalten des Weiteren auch stochastische Effekte, die auf der Porenskala eine Rolle spielen.
Darüber hinaus sollen Effekte der aus dem Modell gewonnenen Erkenntnisse auf für Anwender relevantere Skalen übertragen werden. Die Qualitätsbeurteilung entsprechender gemittelter Modelle für etwa die Feldskala ist von allgemeinem Interesse, da Simulationen, welche die Geometrie der verschiedenen Mikroaggregate auf der Mikroskala auflösen, unter ökonomischen Gesichtspunkten nicht praktikabel sind. Deshalb werden in dieser Dissertation verschiedene Parametrisierungen für Diffusivitäten mit rigoros hergeleiteten Resultaten verglichen und Vorschläge für Verbesserungen der Formeln gemacht, die in einschlägiger Literatur zu finden sind.
Aus mathematischer Sicht resultiert ein Problem aus der Tatsache, dass sich die Geometrie des Modells auf der Mikroskala diskret bewegt. Es stellt sich die Frage, ob entsprechende gemittelte Größen auch wirklich in Modellen auf anderen Skalen verwendet werden können oder ob deren Lösungen wiederum durch den artifiziellen zeitlichen Sprung in den Parametern zu sehr verfälscht werden. Auch dieser Aspekt wird im Folgenden behandelt und die Verlässlichkeit gewonnener Parameter unterstrichen.
Zur Umsetzung des Modells in silico benötigt man ein geeignetes numerisches Verfahren. Bestimmte unstetige Galerkin Methoden erweisen sich hierfür als gut geeignet, da sie lokal massenerhaltend sind, mit unstetigen Daten — die sich zum Beispiel aus einer Geometrieveränderung ergeben — gut umgehen können und selbst bei komplizierten Übergangsbedingungen funktionieren. Dies wird abschließend mathematisch rigoros gezeigt und die verwendeten Verfahren dahingehend modifiziert, dass das zu lösende lineare Gleichungssystem deutlich reduziert wird. Dies setzt die Konvergenzordnung nicht herab und kann daher als echte Verbesserung gesehen werden.