In brittle composite materials mesoscopic failure mechanisms like debonding of the matrix-fiber interface or fiber breakage can result in crack deflection and hence in the improvement of the macroscopic damage tolerance. More generally it is known that high values of fracture energy dissipation lead to toughening of the material. This motivates our goal to design brittle composite materials yielding maximal energy dissipation for a given static load case. We focus especially on the effect of variation of fiber shapes on the crack paths and thus on the fracture energy. For a systematic approach we set up a shape optimization problem formulation. We derive first order information in the form of a shape gradient or a sub-gradient for different formulations of the shape optimization problem respectively. While the cost function of the optimization problem is represented by the fracture energy the state problem consists in the determination of the potentially discontinuous displacement field in the two dimensional cracked domain. The displacement field includes the information about crack openings which influence the energy dissipation significantly. This effect is due to consideration of cohesiveness. The cohesive tractions and the dissipated energy depend nonlinearly on the crack openings normal as well as tangential to the crack surface. This is an extension to existing approaches. Some of these approaches solely take cohesiveness due to normal crack openings into account. Others rely on Griffith theory and thus model energy dissipation independent of crack openings. Our approach results in an extended set of constitutive equations for description of the behavior of a cracked structure. The cohesive effects and a non-penetration condition, which is imposed to avoid interpenetration of opposite crack sides, lead to additional inequalities. We show that a displacement field which fulfills the constitutive equations can be obtained as solution of a variational inequality or equivalently as minimum of the total energy by solution of an energy minimization problem. Furthermore, we prove existence and uniqueness of solutions under commonly accepted conditions. In order to determine the crack path for a given load case numerically, we apply a finite element discretization in combination with so-called cohesive elements. In contrast to other approaches to fracture where the crack path inside of the considered domain is known our numerical approach allows to determine an unknown crack path. The energy minimization method described above has the particular strength that the complete crack path is a result of one minimization process. We numerically determine optimal fiber shapes for specific problem settings as solutions of discretized shape optimization problems. Our numerical results reveal on the one hand that our simulation techniques generate reasonable crack paths. On the other hand the shape optimization results clearly show that our objective to maximize the fracture energy by optimization of fiber shapes is achieved. Finally, we notice that we include different scales in our approach. The uncracked domain is modeled by linear elasticity while the area close to the crack is described on a smaller scale taking into account nonlinear cohesive effects. Furthermore, the cohesive parameters are determined directly on atomistic scale using density functional calculations. In conclusion, our results can help to guide the manufacturing process of materials with a high fracture toughness.

Mesoskopische Schadensprozesse in spröden Verbundwerkstoffen, wie das Ablösen von Fasern oder Faserbruch, können zu Rissablenkungen führen und somit die makroskopische Schadenstoleranz erhöhen. Es ist grundsätzlich bekannt, dass eine vermehrte Energiedissipation während der Rissausbreitung zu erhöhter Risszähigkeit führt. Hieraus leitet sich unsere Zielsetzung ab, spröode Verbundwerkstoffe dahingehend zu entwerfen, dass für einen speziellen statischen Lastfall eine möglichst hohe Energiedissipation erzielt wird. Dabei betrachten wir im Speziellen den Einfluss der Veränderung der Faserform auf den Risspfad und damit auf die Bruchenergie. Um einen systematischen Zugang zu erhalten stellen wir ein Faserformoptimierungsproblem auf. Wir leiten Information erster Ordnung in Form eines Shapegradienten oder eines Sub-Gradienten abhängig von der Problemformulierung ab. Während die Kostenfunktion durch die Bruchenergie selbst gegeben ist, besteht das Zustandsproblem in der Bestimmung des möglicherweise unstetigen Verschiebungsfeldes in einem zweidimensionalen gerissenen Gebiet. Dieses Verschiebungsfeld beinhaltet Informationen über Rissöffnungen, welche die dissipierte Energie signifikant beeinflussen. Dieser Effekt beruht auf der Betrachtung von Kohäsivitäat. Die kohäsiven Kräfte sowie die dissipierte Energie hängen nicht-linear von den Rissöffnungen in normaler und tangentialer Richtung zur Rissoberfläche ab, was eine Erweiterung zu bestehenden Ansätzen darstellt. Manche dieser Ansätze ziehen nur die Abhängigkeit der dissipierte Energie von Rissöffnungen in normaler Richtung zur Rissoberfläche in Betracht. Andere basieren auf der Theorie von Griffith und modellieren deshalb die dissipierte Energie als unabhängig von den Rissöffnungen. Damit führt unser Ansatz zu einer erweiterten Menge an Konstitutivgleichungen zur Beschreibung des Verhaltens der gerissenen Struktur. Die kohäsiven Effekte und die non-penetration Bedingung, welche zur Vermeidung des gegenseitigen Eindringens gegenüberliegender Rissseiten verwendet wird, führen zu zusätzlichen Ungleichungen. Wir zeigen, dass das Verschiebungsfeld, welches alle Konstitutivgesetze erfüllt, entweder als Lösung einer Variationsungleichung oder äquivalent als Minimum der Gesamtenergie über die Lösung eines Minimierungsproblems erhalten werden kann. Ferner beweisen wir Existenz und Eindeutigkeit der Lösung unter üblichen Bedingungen. Zur numerischen Löosung des Rissproblems verwenden wir eine FE-Diskretisierung in Kombination mit sogenannten kohäsiven Elementen. Im Unterschied zu anderen Ansätzen zur Behandlung von Rissen, bei welchen der Risspfad vorgegeben ist, erlaubt unser numerischer Ansatz die Bestimmung eines vorab unbekannten Risspfades. Die oben beschriebene Energieminimierungsmethode besitzt den speziellen Vorteil, dass der komplette Risspfad als Ergebnis eines einzigen Energieminimierungsprozesses erhalten werden kann. Optimale Faserformen bestimmen wir numerisch als Lösungen von diskretisierten Faserformoptimierungsproblemen. Unsere numerischen Ergebnisse vedeutlichen zum einen, dass unsere Risssimulationsmethoden angemessene Risspfade erzeugen. Zum anderen zeigen die Formoptimierungsergebnisse, dass unser Ziel der Maximierung der Bruchenergie durch Optimierung der Faserform erreicht worden ist. Schließlich verweisen wir noch auf die Mehrskaligkeit unseres Ansatzes. Das ungerissene Gebiet wird über ein lineares Elastizitätsmodell beschrieben, während das Gebiet nahe des Risses auf einer kleineren Skala betrachtet wird, welche die Einbeziehung nicht-linearer kohäsiver Effekte erlaubt. Darüber hinaus werden die kohäsiven Parameter über Dichtefunktionalberechnungen direkt auf der atomaren Skala bestimmt. Zusammenfassend können aus unseren Ergebnissen Richtlinien für den Herstellungsprozess für Materialien mit hoher Bruchzähigkeit abgeleitet werden.