Exceptional polynomials and monodromy groups in positive characteristic

Exzeptionelle Polynome und Monodromiegruppen in positiver Charakteristik

Please always quote using this URN: urn:nbn:de:bvb:20-opus-34871
  • We discuss exceptional polynomials, i.e. polynomials over a finite field $k$ that induce bijections over infinitely many finite extensions of $k$. In the first chapters we give the theoretical background to characterize this class of polynomials with Galois theoretic means. This leads to the notion of arithmetic resp. geometric monodromy groups. In the remaining chapters we restrict our attention to polynomials with primitive affine arithmetic monodromy group. We first classify all exceptional polynomials with the fixed field of the affineWe discuss exceptional polynomials, i.e. polynomials over a finite field $k$ that induce bijections over infinitely many finite extensions of $k$. In the first chapters we give the theoretical background to characterize this class of polynomials with Galois theoretic means. This leads to the notion of arithmetic resp. geometric monodromy groups. In the remaining chapters we restrict our attention to polynomials with primitive affine arithmetic monodromy group. We first classify all exceptional polynomials with the fixed field of the affine kernel of the arithmetic monodromy group being of genus less or equal to 2. Next we show that every full affine group can be realized as the monodromy group of a polynomial. In the remaining chapters we classify affine polynomials of a given degree.show moreshow less
  • In dieser Arbeit werden exzeptionelle Polynome untersucht. Ein über einem endlichen Körper $k$ definiertes Polynom heißt exzeptionell, falls durch dieses auf unendlich vielen endlichen Erweiterungen von $k$ Bijektionen induziert werden. In den ersten Kapiteln legen wir die theoretischen Grundlagen, die uns eine Charakterisierung exzeptioneller Polynome mittels Galoistheorie erlauben. Wir benötigen hierzu insbesondere den Begriff der arithmetischen bzw. geometrischen Monodromiegruppe. In den folgenden Kapiteln behandeln wir schwerpunktmäßigIn dieser Arbeit werden exzeptionelle Polynome untersucht. Ein über einem endlichen Körper $k$ definiertes Polynom heißt exzeptionell, falls durch dieses auf unendlich vielen endlichen Erweiterungen von $k$ Bijektionen induziert werden. In den ersten Kapiteln legen wir die theoretischen Grundlagen, die uns eine Charakterisierung exzeptioneller Polynome mittels Galoistheorie erlauben. Wir benötigen hierzu insbesondere den Begriff der arithmetischen bzw. geometrischen Monodromiegruppe. In den folgenden Kapiteln behandeln wir schwerpunktmäßig Polynome mit primitiver affiner arithmetischer Monodromiegruppe. Zunächst klassifizieren wir alle exzeptionellen Polynome, die der Bedingung genügen, daß der Fixkörper des affinen Kerns ein Geschlecht kleiner oder gleich 2 besitzt. Danach zeigen wir, daß jede volle affine Gruppe als geometrische Monodromiegruppe eines Polynoms auftritt. In den restlichen Kapiteln klassifizieren wir affine Polynome von vorgegebenem Grad.show moreshow less

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Metadaten
Author: Florian Möller
URN:urn:nbn:de:bvb:20-opus-34871
Document Type:Doctoral Thesis
Granting Institution:Universität Würzburg, Fakultät für Mathematik und Informatik
Faculties:Fakultät für Mathematik und Informatik / Institut für Mathematik
Date of final exam:2009/03/20
Language:English
Year of Completion:2009
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
GND Keyword:Algebraischer Funktionenkörper; Galois-Feld; Galois-Erweiterung; Monodromie
Tag:algebraic function field; finite fields; galois extensions; monodromy groups
MSC-Classification:11-XX NUMBER THEORY / 11Gxx Arithmetic algebraic geometry (Diophantine geometry) [See also 11Dxx, 14Gxx, 14Kxx] / 11G20 Curves over finite and local fields [See also 14H25]
12-XX FIELD THEORY AND POLYNOMIALS / 12Exx General field theory / 12E20 Finite fields (field-theoretic aspects)
12-XX FIELD THEORY AND POLYNOMIALS / 12Fxx Field extensions / 12F05 Algebraic extensions
12-XX FIELD THEORY AND POLYNOMIALS / 12Fxx Field extensions / 12F10 Separable extensions, Galois theory
Release Date:2009/03/23
Advisor:Prof. Dr. Peter Müller