Spectral properties of localized continuum random Schrödinger operators

Spectral properties of localized continuum random Schrödinger operators

The results presented in this thesis are mainly motivated by the attempt to improve the mathematical understanding of the localized spectral region of random quantum mechanical systems. It is common wisdom in theoretical (and experimental) physics that a variety of spectral properties are characteristic indicators for the presence of spectral localization. The mathematical verifi of such characteristic properties at large is one of the key concerns of the theory of random Schrödinger operators. The first topic we address, based on joint work with Martin Gebert and Peter Müller [37], is a phenomenon dubbed Anderson orthogonality : Given two non-interacting, quasi-free electron systems which only differ by a local perturbation, Anderson orthogonality refers to the vanishing of their ground-state overlap in the macroscopic limit. We prove that in the localized spectral region Anderson orthogonality and absence of Anderson orthogonality both typically appear with positive probability. As a consequence, the disorder-averaged ground- state overlap does not vanish in the macroscopic limit. Combined with the mathematical results from [51], this shows that the absence of Anderson orthogonality can indeed be viewed as a characteristic property of the localized spectral region. Another test for the spectral structure of a random quantum mechanical system is its local eigenvalue statistics. On the one hand, it is common sense in physics that the eigenvalue statistics for a generic localized system are poissonian. But, on the other hand, previously known proofs only applied for the lattice Anderson model and similar lattice models. Irre- spective of the concrete model, a mandatory requirement to obtain Poisson statistics of the local eigenvalue process around a reference energy E is a positive density of states at that point. As a first step towards Poisson statistics we prove, based on joint work with Martin Gebert, Peter Hislop, Abel Klein and Peter Müller [37], a strictly positive lower bound on the density of states for continuum random Schrödinger operators. Then, based on joint work with Alexander Elgart [36], we present a new proof for poissonian local eigenvalue statistics. It is more flexible than known methods and, for instance, applicable to continuum random Schrödinger operators. A phenomenon reminiscent of the vanishing of the ground-state overlap described above is the logarithmic enhancement of asymptotic Szegő-type trace formulas. The absence of a logarithmic enhancement for the localized lattice Anderson model is already known [100, 43]. But motivated by those works, we prove [35] a full asymptotic expansion for the trace of h(g(Hω )[−L,L]d ) in terms of the length-scale L, where h and g are suitable functions and Hω is a general ergodic operator. Our key assumption here is that the operator kernel of g(Hω ) exhibits sufficient spatial decay, which can be verifi either under a spectral localization assumption on Hω or a regularity assumption on g., Die Resultate, die ich im Rahmen meiner Dissertation vorstelle, sind hauptsächlich motiviert durch das Bestreben, das mathematische Verständnis des lokalisierten Spektralbereichs zufälliger quantenmechanischer Systeme zu verbessern. In der theoretischen (und experimentellen) Physik gelten verschiedene Spektraleigenschaften als charakteristische Indikatoren für das Vorliegen einer lokalisierten spektralen Phase. Das mathematische Bestätigen solcher Charakteristika in möglichst großer Allgemeinheit ist eines der Kernthemen der Theorie zufäl- liger Schrödingeroperatoren. Im ersten Projekt dieser Dissertation, welches auf einer Zusammenarbeit mit Martin Gebert und Peter Müller basiert [37], wird die sogenannte Anderson Orthogonalität unter- sucht: Gegeben seien zwei nicht wechselwirkende Elektronensysteme, deren Einteilchenoperatoren sich nur um eine lokale Störung unterscheiden. Dann spricht man von Anderson Orthogonalität, falls der Überlapp der beiden Grundzustände der Elektronensysteme im makroskop- ischen Limes gegen null strebt. Wir zeigen, dass Anderson Othogonalität sowie deren Ab- wesenheit im lokalisierten Spektralbereich eines zufälligen Schrödingeroperators beide mit positiver Wahrscheinlichkeit auftreten. Folglich verschwindet der zufallsgemittelte Grundzustandsüberlapp nicht im makroskopischen Limes. In Kombination mit bereits bekannten Resultaten [51] zeigt dies, dass das Verhalten des Grundzustandüberlapps im makroskopischen Limes ein Indikator eines lokalisierten Spektralbereichs ist. Ein weiterer Test für die Spektralstruktur eines zufälligen quantenmechanischen Systems ist dessen lokale Eigenwertstatistik. Es ist Teil der Folklore der Physik, dass eine poisson- verteilte lokale Eigenwertstatistik ein universeller Indikator eines lokalisierten Systems ist. Andererseits funktionieren bekannte Beweise nur für das klassiche Andersonmodell und ähnliche Modelle auf dem Gitter. Unabhängig vom jeweiligen Modell ist eine notwendige Bedingung für eine poissonverteilte lokale Eigenwertstatistik bei der Referenzenergie E die strikte Positivität der Zustandsdichte an dieser Energie. Im zweiten Projekt, welches auf einer Zusammenarbeit mit Martin Gebert, Peter Hislop, Abel Klein und Peter Müller basiert [37], wird eine strikt positive untere Schranke an die Zustandsdichte von zufälligen Schrödingeroperatoren im Kontinuum etabliert. Danach präsentiere ich, basierend auf Resultaten die in Zusammenarbeit mit Alexander Elgart entstanden [36], einen neuen Beweis für die poissonsche lokale Eigenwert- statistik. Dieser ist deutlich flexibler als bekannte Beweise und ist zum Beispiel anwendbar auf zufällige Schrödingeroperatoren im Kontinuum. Ein Phänomen, welches dem oben beschriebenen asymptotischen Verschwinden des Grundzustandsüberlapps ähnlich ist, ist die logarithmische Verstärkung der führenden Ord- nung sogenannter asymptotischer Szegő Spurformeln. Die Absenz solcher logarithmischer Verstärkungen für lokalisierte zufällige Schrödingeroperatoren ist bereits bekannt [100, 43]. Auf- bauend auf diesen Arbeiten beweise ich [35] eine komplette asymptotische Entwicklung für die Spur des Operators h(g(Hω )[−L,L]d ) in der Längenskala L, wo h und g geeignete Funktionen sind und Hω ein allgemeiner ergodischer Operator. Die Hauptannahme, unter der diese komplette asymptotische Entwicklung gültig ist, ist hinreichend schneller Abfall des Operatorkerns des Operators g(Hω ). Eine solche Annahme kann nachgewiesen werden unter entweder einer spektralen Lokalisierungsannahme für den Operator Hω oder einer Regularitätsannahme für die Funktion g.

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28. Aug. 2018

2018

Englisch

https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bvb:19-228427