On the introduction of Lorentz poles into the unequal-mass scattering amplitude

Summary

We suggest a new type of kinematical decomposition of the unequal-mass scattering amplitude. We introduce two noncommuting, nondisjunct Poincaré groups,P ⁽⁺⁾ andP(⁻), both of them are subgroups of theP ₁ ⊗P ₂ direct-product group, whereP ₁ andP ₂ are the Poincaré groups of the one-particle transformations for the first and the second particle of the two-particle states, respectively. The groupP ⁽⁺⁾ is identical to the group of the two-particle Poincaré transformations. Our first decomposition for the scattering amplitude is a double expansion with respect to the representations of both theP ⁽⁺⁾ andP ⁽⁻⁾ groups, simultaneously. The second proposal of ours is the partial-wave analysis not of the centre-of-mass states but of the «equal velocity» states, in which the individual particles move with the same velocity. Our expansions are valid for anys andt. In the equal-mass case they give the usual Lorentz-pole decomposition att=0. The formalism seems to be adequate for understanding the meaning of the «spectrum generating group» in the unequal-mass case. The variables of the expansion functions are unambiguously defined by the kinematical variables, and have branch points only at the thresholds and pseudothresholds, in opposition to other approaches.

Riassunto

Si suggerisce un nuovo tipo di decomposizione cinematica dell'ampiezza di scattering di masse disuguali. Si introducono due gruppi di Poincaré non commutanti e non disgiunti,P ⁽⁺⁾ eP ⁽⁻⁾, entrambi sottogruppi del gruppo del prodotto direttoP ₁⊗P ₂, doveP ₁ eP ₂ sono i gruppi di Poincaré delle trasformazioni di una particella, rispettivamente, per la prima e la seconda particella degli stati di due particelle. Il gruppoP ⁽⁺⁾ è identico al gruppo delle trasformazioni di Poincaré di due particelle. La nostra prima decomposizione per l'ampiezza di scattering è uno sviluppo doppio rispetto alle rappresentazioni di entrambi i gruppiP ⁽⁺⁾ eP ⁽⁻⁾, simultaneamente. La seconda nostra proposta è l'analisi in onde parziali non degli stati del centro di massa ma di quelli di «velocità uguale», in cui le singole particelle si muovono con la stessa velocità. I nostri sviluppi sono validi qualunque sianos et. Nel caso di masse uguali essi danno l'usuale decomposizione in poli di Lorentz at=0. Il formalismo sembra adatto a comprendere il significato del «gruppo generante lo spettro» nel caso di masse disuguali. Per mezzo delle variabili cinematiche si definiscono senza ambiguità le variabili delle funzioni dello sviluppo; contrariamente a quanto succede con altri metodi, esse hanno punti di diramazione solo alle soglie ed alle pseudosoglie.

Резюме

Мы предлагаем новый тип кинематического разложения амплитуды рассеяния частиц с неравными массами. Мы вводим две некоммутирующие, неразъединенные группы Пуанкаре,P ⁽⁺⁾ иP ⁽⁻⁾, каждая из которых представляет подгруппу группы прямого произведенияP ₁⊗P ₂, гдеP ₁ иP ₂ представляют группы Пуанкаре одно-частичных преобразований соответственно для первой и второй частицы двух-частичных состояний. ГруппаP ⁽⁺⁾ идентична группе двух-частичных преобразований Пуанкаре. Наше первое разложение для амплитуды рассеяния представляет разложение одновременно по представлениям группP ⁽⁺⁾ иP ⁽⁻⁾. Наше второе предложение представляет парциальный анализ состояний не системы центра масс, но состояний с «равными скоростями», в которых отдельные частицы движутся с одной и той же скоростью. Наши разложения справедливы для любыхs иt. В случае равных масс они дают обычное разложение по полюсам Лорентца приt=0. Повидимому, этот формализм является адекватным для понимания значения «спектра образующей группы» в случае неравных масс. В противоположность другим приближениям, переменные функций разложения определяются неоднозначно через кинематические переменные и имеют точки ветвления только на порогах и псевдопорогах.