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Total curvature of curves in the C¹-closure of knot classes with finite, isolated self intersections = Totalkrümmung von Kurven im C¹-Abschluss von Knotenklassen mit endlichen, isolierten Selbstschnitten
2021 & 2022
Dissertation, RWTH Aachen University, 2021
Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2022
Genehmigende Fakultät
Fak01
Hauptberichter/Gutachter
;
Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2021-11-15
Online
DOI: 10.18154/RWTH-2021-11626
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/836835/files/836835.pdf
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Projekte
Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
C^1-closure (frei) ; Fáry–Milnor theorem (frei) ; knot classes (frei) ; total curvature (frei)
Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
Kurzfassung
Nach dem Satz von Fáry und Milnor ist die Totalkrümmung eines Knotens Gamma, der als einfach geschlossene Kurve definiert ist, nach unten beschränkt durch das 2 pi-fache der Brückenzahl br der Knotenklasse von Gamma. Gerlach et al. beweisen, dass diese Schranke auch für Kurven im C^1-Abschluss von Knotenklassen K mit br(K)=2 gilt, wofür auf ein Resultat über die Existenz alternierender Quadrisekanten von Denne zurückgegriffen wird. Um ganz allgemein elastische Knoten beliebiger Knotenklassen zu charakterisieren, kann somit eine allgemeinere Version des Satzes von Fáry und Milnor hilfreich sein. In dieser Arbeit beweisen wir eine Erweiterung des Satzes von Fáry und Milnor: Wir beschränken die Totalkrümmung von Kurven im C^1-Abschluss von Knotenklassen K mit nur endlich vielen, isolierten Selbstschnitten nach unten durch 2 pi br(K). Nach Voraussetzung existiert somit eine Folge (Gamma_k)_{k in N} subset K, die Gamma in C^1 approximiert. Zunächst beweisen wir die Aussage für Grenzkurven Gamma mit ausschließlich transversalen Selbstschnitten mittels ambient isotoper Transformationen von Gamma_k, deren Totalkrümmung die Totalkrümmung der Grenzkurve Gamma approximiert. Wir verwenden eine Transformationstechnik von von der Mosel, die eine feine Blätterung aus disjunkten, kompakten, konvexen und ebenen Querschnitten nutzt. Darüber hinaus definieren wir neue Isotopien mit Hilfe von speziellen Doppelkegelkonstruktionen. Um das Resultat auf allgemeine, sich nicht ausschließlich transversal schneidende Grenzkurven zu erweitern, führen wir ``Webe-Linien'' ein, in deren Richtung wir die Knoten Gamma_k ambient isotop schieben können. Diese Webe-Linien werden explizit konstruiert und hängen in ihrer Beschaffenheit von der Komplexität der Selbstschnitte von Gamma ab. Durch diese ambient isotopen Verschiebungen können wir die Totalkrümmung kontrollieren und den erweiterten Satz von Fáry und Milnor beweisen.The Fáry-Milnor Theorem states that the total curvature of a knot gamma, which is a simple closed curve, is bounded from below by 2 pi times the bridge number br of the knot class of gamma. For knot classes K with br(K)=2, this bound also holds for curves in the C^1-closure of K, as proven by Gerlach et al. using the existence of alternating quadrisecants, a result of Denne. A general version of the Fáry-Milnor Theorem could turn out to be useful to characterise elastic knots for more general knot classes than treated by Gerlach et al.. In this thesis, we prove an extended Fáry-Milnor Theorem: For a curve gamma in the C^1-boundary of a knot class K with only finitely many, isolated self intersections we bound the total curvature from below by 2 pi br(K). By construction, there is a sequence (gamma_k)_{k in N} subset K approximating gamma in C^1. We first prove the statement for all gamma with purely transversal self intersections. We achieve this with ambiently isotopic transformations of the gamma_k such that the total curvature of the transformed sequence approximates the total curvature of the limit curve gamma. In particular, we apply the technique of a foliation of disjoint, compact, convex and planar cross sections from von der Mosel. Moreover, we introduce new isotopies being explicitly defined by double-cone constructions. Next, we extend the result to limit curves with non-transversal self intersections. To that end, we introduce the concept of ``weaving lines'' to which we can push gamma_k very closely by ambient isotopies. We provide an explicit construction for these weaving lines, which depend on the complexity of the self intersections of the limit curve gamma. By this procedure, we are able to control the total curvature and prove the extended Fáry-Milnor Theorem.
OpenAccess: 
PDF
(additional files)
Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis
Format
online
Sprache
English
Externe Identnummern
HBZ: HT021182622
Interne Identnummern
RWTH-2021-11626
Datensatz-ID: 836835
Beteiligte Länder
Germany
