Tropical correspondence for smooth del Pezzo log Calabi-Yau pairs

Abstract

Consider a log Calabi-Yau pair (X,D) consisting of a smooth del Pezzo surface X of degree at least 3 and a smooth anticanonical divisor D. Let N_β be the logarithmic Gromov-Witten invariant of stable log maps to X of genus 0 and effective curve class β intersecting D in a single (unspecified) point with maximal tangency. The main result of this thesis is a correspondence between the invariants N_β and the consistent wall structure S_∞ appearing in the dual intersection complex of (X,D) from the Gross-Siebert reconstruction algorithm: The logarithm of the product of functions attached to unbounded walls in S_∞ yields a generating function for the N_β. In the case of (P2,E), with E an elliptic curve, this correspondence respects the group law on E with identity given by a flex point. This yields a refined correspondence for logarithmic Gromov-Witten invariants N_d,k of stable log maps to P2 of degree d meeting E in a single fixed point of order 3k. In the Gross-Siebert program of mirror symmetry, the wall structure S_∞ is used to construct the Landau-Ginzburg model mirror dual to (X,D). So the above correspondence can be interpreted as an explicit manifestation of the relation between holomorphic curves and deformations of complex structures predicted by mirror symmetry.

Sei (X,D) ein log Calabi-Yau Paar bestehend aus einer glatten del Pezzo Fläche X vom Grad mindestens 3 und einem glatten antikanonischen Divisor D. Definiere N_β als die logarithmische Gromov-Witten-Invariante der stabilen log Abbildungen nach X vom Geschlecht 0 und effektiver Kurven-Klasse β, die D in exakt einem (unbestimmten) Punkt treffen. Das Hauptresultat dieser Arbeit ist eine Korrespondenz zwischen den Invarianten N_β und der konsistenten Wall-Struktur S_∞, die auf dem dualen Schnittkomplex von (X,D) durch Anwendung des Gross-Siebert-Rekonstruktions-Algorithmus entsteht: Der Logarithmus des Produktes von Funktionen der unbeschränkten Wälle in S_∞ ist eine Erzeugendenfunktion für die N_β. Im Fall (P2,E), mit einer elliptischen Kurve E, respektiert obige Korrespondenz die Gruppenstruktur auf E mit Wendepunkt als Identität. So erhalten wir eine feinere Korrespondenz für logarithmische Gromov-Witten-Invarianten N_d,k von stabilen log Abbildungen nach X vom Grad d, die E in einem festen Punkt der Ordnung 3k treffen. Das Gross-Siebert Programm der Spiegelsymmetrie nutzt die Wall-Struktur S_∞, um das zu (X,D) spiegelsymmetrisch duale Landau-Ginzburg-Modell zu konstruieren. So kann die obige Korrespondenz als eine explizite Manifestation der Vebindung zwischen holomorphen Kurven und Deformationen der komplexen Struktur in der Spiegelsymmetrie aufgefasst werden.