Theorie und Numerik von Mehrskalenmethoden für die rotierenden Flachwassergleichungen

Abstract

Diese Arbeit befasst sich mit der Theorie und Numerik von Mehrskalenmethoden für die entdimensionalisierten rotierenden Flachwassergleichungen.

Im theoretischen Teil der Arbeit werden für diese Gleichungen in angepasster einfacher Form asymptotische Einskalen- und Mehrskalenentwicklungen betrachtet. Als Erstes wird durch die Wahl der dimensionslosen Parameter ein Gleichungssystem bezüglich der sogenannten Zwischenvariablen hergeleitet, das die Gleichungen der Mesoskala und der Submesoskala in Abhängigkeit eines zusätzlichen Parameters wiedergibt, und mit Einskalenentwicklungen der entsprechende singuläre Grenzwert untersucht. Hierfür ist es möglich, die zu den bestehenden Existenz-, Eindeutigkeits- und Konvergenzaussagen bezüglich der Mesoskala entsprechenden Aussagen bezüglich der Zwischenvariablen und Submesoskala zu beweisen. Als Zweites wird auf eine Verallgemeinerung dieser Gleichungen eine Zweiskalenentwicklung in Raum und Zeit angewendet und das resultierende asymptotische System mithilfe der jeweiligen Mittelungsoperatoren und Wachstumsbedingungen bezüglich der Submesoskala analysiert. Mit diesem Vorgehen wird unter anderem gezeigt, dass das räumlich und zeitlich gemittelte quasi-geostrophische Gleichgewicht im Gegensatz zur Einskalenentwicklung um einen zusätzlichen Term in der Gleichung der potentiellen Vortizität verschoben ist.

Im numerischen Teil der Arbeit wird basierend auf den Ergebnissen der asymptotischen Analyse ein vollständig-impliziter Algorithmus zweiter Ordnung in Raum und Zeit für die rotierenden Flachwassergleichungen in Erhaltungsform bei hinreichend kleinen Froude-Zahlen sowie beliebigen Rossby-Zahlen der Ordnung $\mathcal{O}(1)$ und $\mathcal{O}(\varepsilon)$ entwickelt. Anschließend wird die Güte des entwickelten Algorithmus an vier numerischen Testbeispielen überprüft. Für das erste Testbeispiel, eine exakte, stationäre Lösung eines isolierten Wirbels, wird die experimentelle Konvergenzordnung ermittelt und gezeigt, dass diese in allen drei betrachteten Fällen $\Froude=\varepsilon$ und $\Rossby=1,$ $\Froude=\varepsilon$ und $\Rossby=\sqrt{\varepsilon}$ sowie $\Froude=\varepsilon$ und $\Rossby=\varepsilon$ jeweils für $\varepsilon\ll1$ bei jeweils hinreichend kleinen Gitterweiten mit der erwarteten Ordnung zwei übereinstimmt. Weitere Testbeispiele werden durch den See in Ruhe, dessen numerische Erhaltung gezeigt wird, und zwei nichtlinearen Dynamiken, die im Wesentlichen korrekt wiedergegeben werden, beschrieben.

This thesis deals with the theory and numerics of multiscale methods for the dimensionless rotating shallow water equations.

In the theoretical part of the thesis, asymptotic single and multiple scale expansions are considered for these equations in customised primitive form. First, by choosing the dimensionless parameters, a system of equations with respect to the so-called intermediate variable is derived. Depending on an additional parameter, this system reproduces the equations of the mesoscale and the submesoscale. In addition, the corresponding singular limit of a single scale expansion is examined. For this purpose, it is possible to prove the statements concerning the intermediate variable and submesoscale which correspond to the existing statements of existence, uniqueness and convergence concerning the mesoscale. Second, on a generalisation of these equations, a two-scale expansion in space and time is applied. The resulting asymptotic system is then analysed by means of the respective averaging operators and growth conditions with respect to the submesoscale. Using this procedure, one can show that the spatially and temporally averaged quasi-geostrophic equilibrium, in contrast to the single-scale expansion, is shifted by an additional term in the potential vorticity equation.

In the numerical part of the thesis, based on the results of the asymptotic analysis, a complete-implicit algorithm, which is of second-order in space and time, is developed for the rotating shallow water equations in conservation form with sufficiently small Froude numbers and arbitrary Rossby numbers of order $\mathcal{O}(1)$ and $\mathcal{O}(\varepsilon).$ Subsequently, the quality of the developed algorithm is tested on four numerical test examples. For the first test example, an exact, steady solution of an isolated vortex, the experimental order of convergence is determined. It is possible to show that in the three cases considered, $\Froude=\varepsilon$ and $\Rossby=1,$ $\Froude=\varepsilon$ and $\Rossby=\sqrt{\varepsilon}$ such as $\Froude=\varepsilon$ and $\Rossby=\varepsilon$ each for $\varepsilon\ll1,$ for sufficiently small mesh sizes the respective order of convergence corresponds to the expected order two. Other test examples are described by the lake at rest, whose numerical preservation is shown, and two nonlinear dynamics, which are essentially reproduced correctly.