Morphismen von Kettengeometrien über Quadriken

Abstract

In dieser Arbeit befassen wir uns mit der Beschreibung der Morphismen von Kettengeometrien über Quadriken mittels projektiven Erweiterungen. Wir zeigen, dass Morphismen solcher Kettengeometrien nur dann einer projektiven Erweiterung fähig sind, falls diese stark sind. Umgekehrt konstruieren wir zu jedem starken Morphismus eine projektive Erweiterung und beweisen deren Eindeutigkeit. Außerdem lässt sich jede projektive Erweiterung zerlegen in eine Zentralprojektion, die von einem Unterraum des Radikals der Quadrik im De finitonsbereich ausgeht und einer anschließenden Kollineation. Wir betrachten auch triviale Morphismen von Kettengeometrien über Quadriken. Wir zeigen, dass jeder triviale Morphismus eindeutig zerlegt werden kann in einen trivialen Morphismus auf eine vorher festgelegte Kette im Definitionsbereich und einer Bijektion auf die entsprechende Kette im Bildraum. Nicht von jeder Kettengeometrie über einer Quadrik kann ein trivialer Morphismus ausgehen. Wir zeigen, dass triviale Morphismen genau dann möglich sind, wenn die der Kettengeometrie zugrunde liegende Quadrik keinen Ovoid enthält, sowie keinen Kegel dessen Spitze sich nicht im Radikal der Quadrik befindet.