The Segal model as a ring completion and a tensor product of permutative categories

Abstract

Diese Arbeit ordnet sich in den Kontext algebraischer K-Theorie ein. Zentral in vielen Konstruktionen algebraischer K-Theorie ist der Begriff der Gruppenvervollständigung. Im Zuge der Verallgemeinerung von K-Theorie von Ringen auf ”ringähnliche” Objekte wie Ringspektren und bimonoidale Kategorien stellte sich die Frage nach einer multiplikativen Gruppenvervollständigung. Damit ist eine Vervollständigung bezüglich einer monoidalen Struktur gemeint, die eine existierende zweite monoidale Struktur respektiert. Diese Frage ist offen, seit Thomason 1980 auf Fehler in vermeintlichen Lösungen hinwies. Nils Baas, Bjørn Dundas, Birgit Richter und John Rognes präsentieren in ihrem Artikel ”Ring completion of rig categories” (wird demnächst erscheinen) eine umfassende Lösung für dieses Problem. Neben allgemeingültigen theoretischen Betrachtungen konstruieren sie eine konkrete multiplikative Gruppenvervollständigung. Allerdings existiert ihr Modell nur für Gruppoide mit treuer Translation. In der vorliegenden Arbeit nutzen wir eine Idee von Graeme Segal aus dem Jahre 1974 um eine multiplikative Gruppenvervollständigung zu konstruieren, die diese Anforderungen nicht stellt, sondern auf beliebige strikte bimonoidale Kategorien anwendbar ist. Des Weiteren konstruieren wir ein Tensorprodukt von permutativen Kategorien. Dies war motiviert durch das Streben nach einer Spurabbildung, welche die Arbeit mit K-Theorie erleichtern könnte. Über ein Tensorprodukt permutativer Kategorien existieren verschiedenste Mutmaßungen in der Literatur. Viele sind der Auffassung, dass es ein solches Tensorprodukt nicht gibt, zumindest nicht mit guten multiplikativen Eigenschaften. Wir geben eine konkrete Konstruktion und legen dar, wo Probleme entstehen und wo mögliche Auswege ansetzen könnten.