Sufficient Optimality Conditions for Nonsmooth Optimal Control Problems

Abstract

In dieser Arbeit werden hinreichende Optimalitätsbedingungen für nichtglatte Optimalsteuerungsaufgaben betrachtet. Die hier behandelten Optimalsteuerungsaufgaben sind unendlichdimensionale Optimierungsaufgaben mit gewöhnlichen Differentialgleichungsnebenbedingungen. Nichglatte Aufgaben treten auf, wenn der Integrand der Zielfunktion oder die rechte Seite der Differentialgleichung unstetig ist. Abhängig von dem Vorzeichen einer Schaltfunktion wird zwischen unterschiedlichem dynamischen Verhalten geschaltet.

Einführend werden glatte Optimalsteuerungsaufgaben mit freier Endzeit betrachtet. Dann werden Aufgaben mit endlich vielen Schaltpunkten im regulären und singulären Fall behandelt. Eine weitere Aufgabenklasse sind Optimalsteuerungsaufgaben mit freier Steuerung. Hier verschwindet auf Teilintervallen der Einfluss mancher Steuerkomponenten.

Durch die Anwendung der Multiprozesstechnik werden neue hinreichende Optimalitätsbedingungen entwickelt. Dabei wird die nichtglatte Aufgabe durch Telescoping in eine glatte Optimalsteuerungsaufgabe transformiert. Auf diese Aufgabe können bekannte hinreichende Optimalitätsbedingungen angewendet werden. Eine Rücktransformierung führt zu den gewünschten Aussagen. Zum Einen werden die hinreichenden Optimalitätsbedigungen von Mangasarian auf die transformierte Aufgabe angewendet. Zum Anderen werden allgemeinere Bedingungen von Maurer und Pickenhain betrachtet. So erhält man eine Matrix-Riccati-Differentialgleichung mit zusätzlichen Rand- und Sprungbedingungen.

Anhand von Beispielen wird die Anwendung der hinreichenden Bedingungen erläutert und Schwierigkeiten bei der numerischen Berechnung angegeben. Hinreichende Bedingungen für das zeitminimale ReEntry-Problem können gezeigt werden. An einem Diodenproblem aus der Elektrotechnik und einem Navigationsproblem werden hinreichende Bedingungen für nichtglatte Optimalsteuerungsaufgaben im regulären und singulären Fall untersucht. Zwei Beispiele mit freier Steuerung werden angegeben. Dabei konnten bei dem Erde-Mars Orbit Transfer Problem die hinreichenden Bedingungen noch nicht gezeigt werden. Für einfache nichtglatte Optimalsteuerungsaufgaben mit wenigen Schaltpunkten führen die hier entwickelten Bedingungen zu guten Resultaten.

In this exposition we deal with sufficient optimality conditions of nonsmooth optimal control problems. We consider optimal control problems with ordinary differential equations. Since the integrand of the objective function and the right hand side of the state equation may contain discontinuities, we investigate nonsmooth problems. We choose different dynamics depending on the sign of a switching function.

First we take a look at optimal control problems with free final time. Then we formulate sufficient conditions for problems with finitely many switching times in the regular and in the singular case. Furthermore, we investigate a class of problems with free control subarcs. Here, the influence of some control components vanish on subintervals.

With the application of a multiprocess technique we develop new sufficient optimality conditions. By telescoping, we transform the nonsmooth problem into a smooth optimal control problem. We then apply existing sufficient optimality conditions. A transformation back to the original problem leads to the desired conditions. On the one hand, we apply sufficient conditions formulated by Mangasarian. On the other hand we use the theory developed by Maurer and Pickenhain. Thus we obtain a matrix riccati differential equation with additional boundary and jump conditions.

By means of some examples, we discuss the application and difficulties of the here developed sufficient conditions. We show sufficient optimality conditions for the time minimal ReEntry Problem. We investigate a problem with diode and a navigation problem for the nonsmooth class. Two examples are given with free control subarc. We could not show sufficient conditions for the Earth-Mars Orbit Transfer Problem yet. For nonsmooth optimal control problems with small dimensions the here developed sufficient optimality conditions lead to good results.