Higher Categorical and Operadic Concepts for Orbifold Constructions - A Study at the Interface of Topology and Representation Theory

Abstract

The notion of a topological field theory lies at the interface of topology, algebra and mathematical physics. In the three-dimensional case, it is intimately related to representation theory. In this thesis, we develop an orbifold construction for extended topological field theories with particular focus on applications in the three-dimensional case. In order to describe this construction, the notion of an equivariant topological field theory, a particular flavor of topological field theory, is needed: For a finite group G, an extended equivariant topological field theory is an extended topological field theory defined on a bordism bicategory in which all manifolds are equipped with a G-bundle. The topological orbifold construction is a functorial construction that assigns to a given extended G-equivariant topological field theory an extended non-equivariant topological field theory.

We develop a two-step procedure for the construction of the orbifold theory of a given extended equivariant topological field theory: First, we produce from the input theory a non-equivariant topological field theory with values in a certain symmetric monoidal bicategory built from 2-vector bundles over groupoids and their higher spans (we refer to this step as change to equivariant coefficients). Afterwards, we develop and apply a parallel section functor that assigns 2-vector spaces of parallel sections to 2-vector bundles and certain pull-push maps to higher spans of 2-vector bundles. Since the orbifold construction is given at the level of topological field theories, we will refer to it as the topological orbifold construction.

While this construction itself can be formulated in any dimension, a large part of the thesis is concerned with the three-dimensional (more precisely 3-2-1-dimensional) case. In this specific dimension, we can profit from the deep connection between topological field theories and representation theory. We prove that, when restricted to the circle, the topological orbifold construction corresponds to the purely algebraic concept of an orbifold category, thereby opening a topological perspective on this widely used and well-investigated construction in representation theory. In fact, one of the strengths of the topological orbifold construction lies precisely in this relation to the concept of an orbifold category. As an illustration of the interplay between topological and algebraic orbifoldization, we prove that the evaluation of a 3-2-1-dimensional G-equivariant topological field theory on the circle is a G-(multi)modular category.

Already the formulation of the relation between topological and algebraic orbifoldization requires proving a number of results on the structure that is present on the category obtained by evaluation of a 3-2-1-dimensional G-equivariant topological field theory on the circle. We accomplish this by introducing the so-called little bundles operad, a topological operad built from Hurwitz spaces generalizing the little disks operad. By exhibiting a presentation in terms of generators and relations for this aspherical operad, we prove that its categorical algebras are precisely braided crossed categories.

The applications of the topological orbifold construction go beyond the ones presented in this thesis. In combination with subsequent work of the author with L. Müller on extended topological field theories from cohomological data, it allows us to understand twisted Drinfeld doubles in a topological way. Moreover, it has been extensively used in work of Müller-Szabo for the description of anomalies in quantum field theories, and by Young for the construction of orientation twisted homotopy quantum field theories.

Der Begriff einer topologischen Feldtheorie liegt an der Schnittstelle von Topologie, Algebra und mathematischer Physik. Im dreidimensionalen Fall besitzt er enge Beziehungen zur Darstellungstheorie. In dieser Arbeit entwickeln wir eine Orbifoldkonstruktion für erweiterte topologische Feldtheorien mit besonderem Augenmerk auf dem dreidimensionalen Fall. Um diese Konstruktion zu beschreiben, benötigen wir den Begriff einer äquivarianten topologischen Feldtheorie, eine spezielle Ausprägung von topologischer Feldtheorie: Für eine endliche Gruppe G ist eine erweiterte äquivariante topologische Feldtheorie eine erweiterte topologische Feldtheorie definiert auf einer Bikategorie von Bordismen, deren Mannigfaltigkeiten mit G-Bündeln ausgestattet sind. Die topologische Orbifoldkonstruktion ist eine funktorielle Konstruktion, die einer gegebenen erweiterten G-äquivarianten topologischen Feldtheorie eine erweiterte nicht-äquivariante topologische Feldtheorie zuweist.

Wir entwickeln ein aus zwei Schritten bestehendes Verfahren für die Konstruktion der Orbifoldtheorie einer gegebenen erweiterten äquivarianten topologischen Feldtheorie: Zuerst produzieren wir aus der gegebenen Theorie eine nicht-äquivariante topologische Feldtheorie mit Werten in einer bestimmten symmetrisch monoidalen Bikategorie bestehend aus 2-Vektorbündeln über Gruppoiden und ihren höheren Korrespondenzen (wir bezeichnen diesen Schritt als Wechsel zu äquivarianten Koeffizienten). Anschließend entwickeln und verwenden wir einen Funktor der parallelen Schnitte, der 2-Vektorbündeln die 2-Vektorräume ihrer parallelen Schnitte und höheren Korrespondenzen gewisse Pull-Push-Abbildungen zuweist. Da die Orbifoldkonstruktion auf der Ebene von topologischen Feldtheorien gegeben wird, bezeichnen wir sie als topologische Orbifoldkonstruktion.

Während die Konstruktion selbst in jeder Dimension gegeben werden kann, befasst sich ein großer Teil dieser Arbeit mit dem dreidimensionalen (genauer 3-2-1-dimensionalen) Fall. In dieser bestimmten Dimension können wir von der tiefen Verbindung zwischen topologischen Feldtheorien und Darstellungstheorie profitieren. Wir beweisen, dass die topologische Orbifoldkonstruktion, wenn auf den Kreis eingeschränkt, dem rein algebraischen Konzept einer Orbifoldkategorie entspricht, womit sich eine topologische Perspektive auf diese viel benutzte und gut untersuchte darstellungstheoretische Konstruktion eröffnet. Tatsächlich liegt eine der Stärken der topologischen Orbifoldkonstruktion genau in dieser Beziehung zum Konzept einer Orbifoldkategorie. Als Illustration des Zusammenspiels zwischen topologischer und algebraischer Orbifoldisierung beweisen wir, dass die Auswertung einer 3-2-1-dimensionalen äquivarianten topologischen Feldtheorie auf dem Kreis eine G-(multi)modulare Kategorie ist.

Bereits die Formulierung der Beziehung zwischen topologischer und algebraischer Orbifoldisierung verlangt den Beweis einer Vielzahl von Ergebnissen über die anzutreffende Struktur auf der Kategorie, die durch Auswertung einer 3-2-1-dimensionalen G-äquivarianten topologischen Feldtheorie auf dem Kreis erhalten wird. Uns gelingt dies durch die Einführung der sogenannten Operade der kleinen Bündel, einer topologischen Operade, die die Operade der kleinen Scheiben verallgemeinert. Durch Angabe einer Darstellung dieser asphärischen Operade durch Erzeuger und Relationen beweisen wir, dass die kategoriellen Algebren dieser Operade gerade verzopfte gekreuzte Kategorien sind.

Die Anwendungen der topologischen Orbifoldkonstruktion gehen über die in dieser Arbeit präsentierten hinaus. In Kombination mit nachfolgender Arbeit des Autors mit L. Müller zu erweiterten topologischen Feldtheorien aus kohomologischen Daten erlaubt sie uns, getwistete Drinfeld-Doppel auf topologische Art zu verstehen. Weiterhin geht sie zentral ein in Arbeiten von Müller-Szabo für die Beschreibung von Anomalien in Quantenfeldtheorien und von Young für die Konstruktion von orientierungsgetwisteten Homotopiequantenfeldtheorien.