Exact Results for N=1 Theories of Class S_k

Abstract

A large class of four dimensional N=1 theories can be obtained by twisted compactification along a Riemann surface C of six dimensional theories with N=(1,0) supersymmetry. When the (1,0) theory is that of the theory on M5-branes on a transverse C^2/Z_k singularity the resulting four dimensional theories are said to be of class S_k. These are orbifolds of class S theories and as such, much structure is inherited from the class S mother theory, for which a large number of results have been computed and understood.

In this thesis we investigate exact results, to which we can obtain, for theories of class S_k. We describe and define, via the orbifold inheritance structure, Higgs and Coulomb branches of the moduli space of supersymmetric vacua for theories of class S_k. This is in contrast to generic’ N=1 theories where no such distinction can be made. The Hilbert series for these branches is computed for a variety of examples. Certain distinguished limits, that would again not exist for generic N=1 theories, of the superconformal index are defined and exact results can be written in terms of a matrix integral. In some cases the integrals can be explicitly performed. The relation to dimensional deconstruction of N=(1,1) LST is reviewed and we are able to match the 1/2-BPS partition functions of the class S_k theory and the LST, providing another check of the dimensional deconstruction proposal of Arkani-Hamed, Cohen, Kaplan, Karch and Motl.

Holomorphic N=1 curves encoding the low energy superpotential on the Coulomb branch are derived for a variety of class S_k theories, following the methodology of Seiberg and Intriligator. The N=1 analogue of Nekrasov’s partition function of instantons is computed and is matched to W_kN conformal blocks. We also investigate N=3 theories that arise from discrete gauging of an enhanced discrete symmetry which emerges at strong coupling of N=4 SYM. We study their moduli spaces, focusing on the Higgs and Coulomb branches. The Hilbert series are computed. Moreover, in some cases we can also compute the superconformal index. We compare some of the properties to the S-fold theories of Garcıa-Etxebarria and Regalado. Lastly, BPS-strings in 6d N=(1,0) SCFTs on R^4 x T^2 in the presence of surfaces defects are examined. The (1,0) theories in question are the same ones used to engineer class S k theories however, in this case, the surface defects lie along an R^2 in R^4 as opposed to on the Riemann surface C=T^2 such that we get an N=2 theory with a defect upon compactification. The strings wrap the T^2. The elliptic genus partition function of the strings is computed.

Eine umfangreiche Klasse der vierdimensionalen N=1 Theorien kann mithilfe einer getwisteten Kompaktifizierung einer sechsdimensional Theorie mit N=(1,0) Supersymmetrie entland einer riemannschen Fläche konstruiert werden. In dem falle, dass die (1,0) Theorie einer Theorie auf der transversen C^2/Z_k Singularität auf M5-Branen entspricht, wird die resultierende Theorie in vier Dimensionen als der Klasse S_k zugehörig bezeichnet. Diese Theorien sind Orbifaltigkeiten von Theorien der Klasse S und dementsprechend wird einiges der Struktur der Muttertheorie, für die sehr viele Ergebnisse berechnet und verstanden wurden, von der Tochtertheorie übernommen. In dieser Dissertation untersuchen wir exakte Resultate von Theorien der Klasse S_k, soweit wir diese erziehlen könnnen. Unter Anwednung der Vererbungsstruktur der Orbifaltigkeiten beschreiben und definieren wir den Higgs- sowie den Coulombzweig des Modulraums der supersymmetrischen Vakua der Theorien der Klasse S_k. Dies steht im Kontrast zu generischen N=1 Theorien, in denen eine solche Aufteilung nicht möglich ist. Die Hilbertreihe wird für eine Vielzahl dieser Zweige beispielhaft berechnet. Einige bedeutende Grenzwerte des superkonformen Indexes, die für generische N=1 Theorien ebensowenig existieren würden, werden definiert und die exakten Ergebnisse können zudem in Matrixintegralen ausgedrückt werden. In manchen Fällen lassen sich die Integral explizit berechnen. Der Zusammenhang mit der dimensionalen Dekonstruktion von N=(1,1) LST wird besprochen und wir gleichen die 1/2-BPS Zustandsfunktionen der Theorien der Klasse S_k mit jenen der LST ab, was einen zusätzlichen Test des dimensionalen Dekonstruktionsvorschlags von Arkani-Hamed, Cohen, Kaplan, Korch und Motl darstellt. Holomorphe N=1 Kurven, die das Niederenergiesuperpotential auf dem Coulombzweig kodieren, werden nach der Methodik von Seiberg und Intriligator für einige der Theorien der Klasse S_k hergeleitet. Das N=1 Analog der nekrasovschen Zustandsfunktion der Instantons wird berechnet und mit den konformen W_kN Blocks verglichen. Wir untersuchen des Weiteren N=3 Theorien, die aus einer diskreten Eichung einer erhöhten diskreten Symmetrie, die sich aus der starken Kopplung von N=4 SYM ergibt, entstehen. Wir analysieren deren Modulräume, wobei wir uns auf den Higgs- und den Coulombzweig fokussieren. Die Hilbertreihe wird berechnet. Darüber hinaus ist es uns in einigen Fällen möglich auch den superkonformen Index zu berechnen. Wir vergleichen eine Reihe von Eigenschaften hiervon mit den S-fold Theorien von Garcia-Etxebarria und Regalado. Letztlich untersuchen wir BPS-Strings in sechs dimensionalen N=(1,0) superkonformen Feldtheorien auf R^4 x T^2 in der Anwesenheit von Oberflächendefekten. Die betrachteten (1,0) Theorien sind dieselben wie bei der Konstruktion der Theorien der Klasse S_k, wobei, in diesem Fall, der Oberflächendefekt, entgegen der zuvor verwendeten riemannschen Oberfläche C=T^2 entlang eines R^2 in R^4 liegt, sodass wir nach der Kompaktifizierung eine N=2 Theorie mit einem Defekt erhalten. Der String umwickelt den T^2. Die Zustandsfunktion des elliptischen Genus des Strings wird berechnet.