Ein Verfahren zur Bestimmung des Brechungsindexes aufgrund von Laufzeitmessungen akustischer Signale

Abstract

Im Jahre 1988 zeigte S.J. Norton, dass, unter bestimmten Voraussetzungen und a-priori-Informationen, das Problem der Rekonstruktion eines Vektorfelds aus Laufzeitmessungen akustischer Signale möglich ist. Das zugrunde liegende Modell dafür ist die Doppler-Transformation. Entgegen Nortons Annahme, dass sich die Signale entlang von Geraden ausbreiten, sind die Wege durch den Brechungsindex bestimmt. Nur im Fall von homogenen Medien, trifft Nortons Annahme zu. Im inhomogenen Fall werden die Signale jedoch gebrochen und bewegen sich gemäß des Fermatschen Prinzips entlang von geodätischen Kurven, welche durch die zugrunde liegende Riemannsche Metrik bestimmt sind. Die Metrik wiederum ist durch den Brechungsindex definiert. Eine Vernachlässigung des Brechungsindexes in der Rekonstruktion führt also zu einem Modellierungs- und somit zu einem Rekonstruktionsfehler. Um diese Fehler zu vermeiden soll der Brechungsindex aus den Laufzeitdaten rekonstruiert werden. Dies ist ein nichtlineares inverses Problem, da die Integrationswege vom Integranden abhängen. Insbesondere ist die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung noch nicht umfassend geklärt. Ziel dieser Arbeit ist es einen Rekonstruktionsalgorithmus zu entwickeln um aus Laufzeitmessungen von akustischen Signalen am Rand von den Brechungsindex zu rekonstruieren. Hierzu nutzen wir einen lokalen Tikhonov-Ansatz um das Rekonstruktionsproblem stabil lösen zu können. Der Nichtlinearität begegnen wir mit einem adaptiven, iterativen Abstiegsverfahren. Das neu entwickelte Verfahren wird anschließend an diversen Beispielen getestet.

In 1988 S.J. Norton showed that the problem to reconstruct a vector field from time-of-flight (TOF) measurements over a bounded region has a unique solution under certain conditions and a priori information. The underlying model is the Doppler transformation. Norton assumed that emitted signals move along straight lines through the object. This corresponds to the situation where the refractive index is equal to 1. In case of an inhomogeneous medium the ultrasound beams are deflected and, according to Fermat’s principle, travel along geodesic curves of a Riemannian metric which is associated with the refractive index. The simplified assumption that ultra sound signals move along straight lines therefore leads to reconstruction errors. The first step to solve the problem is to compute the refractive index from TOF measurements. This is a nonlinear, inverse problem whereas the integration paths depend particularly on the integrand. Even existence and uniqueness of solutions are not entirely clarified. The objective of this thesis is therefore the development of reconstruction algorithms to compute the refractive index from TOF measurements at the boundary of the medium taking physical circumstances like deflection into account. We use a local Tikhonov regularization scheme for solving stably the reconstruction problem. An adaptive iterative descent method is applied to find a minimum in each step. The method’s outcome is both, the refractive index as well as the associated geodesics. Furthermore the algorithm is tested at several examples.