Lösungsmethoden und Fehlerabschätzungen für semi-diskrete inverse Probleme

Abstract

Gegenstand dieser Arbeit ist die Lösung von Integralgleichungen in Hilberträumen mit reproduzierendem Kern. Besonderes Augenmerk liegt auf der effizienten Ausnutzung der Raumstruktur durch eine semi-diskrete Modellierung. Zunächst wird ein Tikhonov-Phillips-Verfahren betrachtet und für verschiedene Fehlermodelle werden Sobolev-Abschätzungen und Parameterstrategien aufgestellt. Bei Modifikation der Zielfunktion ergeben sich Support-Vektor Regressionsmethoden, die auf quadratische Programme führen. Die vorangegangene Fehlertheorie kann auf diese nichtlinearen Ansätze übertragen werden, und numerische Tests zeigen einen deutlichen Stabilitätsgewinn. Neben diesen neuen Rekonstruktionstechniken diskutieren wir die Möglichkeit der Datenvorglättung durch Faltung und leiten eine Skalierungsstrategie her. Desweiteren untersuchen wir eine Methode zur Aufspaltung mittels Zerlegung der Eins und wenden das Verfahren auf Blurring-Operatoren an. Zusätzliche Beschleunigung wird durch Adaption des Konzepts der Approximativen Inversen auf reproduzierende Kerne erreicht. Die resultierende Prozedur wird außerdem in semi-diskreten iterativen Verfahren verwendet. Schließlich wird die Übertragung der hergeleiteten Techniken auf Feature-Rekonstruktionsprobleme analysiert. Das Verhalten aller eingeführten Algorithmen illustrieren wir anhand numerischer Beispiele.

The topic of this thesis is the solution of integral equations in reproducing kernel Hilbert spaces. Special emphasis is put on the efficient exploitation of the space structure by a semi-discrete modelling. Firstly, a Tikhonov-Phillips method is considered and Sobolev error estimates as well as parameter strategies are established for various noise models. A modification of the objective function leads to support vector regression methods resulting in quadratic programming algorithms. The aforementioned error theory can be generalised to these nonlinear approaches and numerical tests indicate a considerable stability improvement. Beside these new reconstruction techniques, a convolution method for data presmoothing is discussed and a scaling strategy is presented. Furthermore, a partition of unity decomposition approach is investigated and applied to blurring operators. Additional speed-up is accomplished by adapting the concept of Approximate Inverse to reproducing kernels. The resulting procedure is also included in semi-discrete iterative methods. Finally, the application of the presented techniques to feature reconstruction problems is analysed. The behaviour of all algorithms is substantiated with numerical examples.