Matrixordnung in der Lietheorie

Abstract

Matrixordnungen und algebraische Matrixordnungen werden im Rahmen geordneter (A*/A )-Moduln über einer komplexen Vektorkategorie A erklärt. Es werden Beispiele gegeben und ein Fortsetzungssatz bereitgestellt. Mengen von Operatoren zwischen Prähilberträumen und *-Darstellungen von *-Algebren werden diskutiert. Ein Darstellungssatz wird bereitgestellt. Informationen über Liegruppen und ihre Liealgebren werden zusammengestellt. Matrixwertige positiv definite Funktionen und die Matrixordnung auf der einhüllenden Algebra G werden diskutiert. Die Ableitungen einer unitären Darstellung einer Liegruppe werden diskutiert, ein Approximationslemma wird bewiesen. Die universelle Darstellung einer Liegruppe und Informationen über Kommutanten werden bereitgestellt. Die Hauptsätze der Arbeit werden bewiesen: Die Charakterisierung der exakten Liealgebrendarstellungen und -homomorphismen mittels vollständiger Positivität. Es wird ein Kriterium bewiesen für die Positivität von Differentialoperatoren aus M(G). Einige Beispiele werden diskutiert und weiterführende Fragen aufgeworfen.

Matrix orders and algebraic matrix orders are defined in the framework of ordered(A*|A)-modules. Some examples are given an extension theorem is provided. Sets of operators between pre-Hilbert spaces and *-representations of *-algebras are discussed. A representation theorem is provided. Informations about Lie groups and their Lie algebras are given. Matrix valued positively definite functions and the matrix order on the enveloping algebra G are discussed. The derivations of a unitary representation of a Lie group are discussed and an approxiamation lemma proved. The universal representation of a Lie group and informations about communtants are provided. The main theorems of the thesis are proved: The characterisation of the exact Lie algebra representations and homomorphismus by complete positivity. A criterion for the positivity of a differential operator in M(G) is proved. Some examples are discussed and further questions are raised.