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Extremal lattices and hilbert modular forms = Extremale Gitter und Hilbertsche Modulformen



Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von David Dursthoff, M.Sc.

ImpressumAachen 2016

Umfang1 Online Ressource (173 Seiten) : Illustrationen


Dissertation, RWTH Aachen University, 2016

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2017


Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
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Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2016-12-21

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2017-022683
DOI: 10.18154/RWTH-2017-02268
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/685470/files/685470.pdf
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/685470/files/685470.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

  1. Lehr- und Forschungsgebiet Mathematik (Algebra) (114820)
  2. Lehrstuhl D für Mathematik (114710)
  3. Fachgruppe Mathematik (110000)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
number theory (frei) ; computer algebra (frei) ; extremal lattices (frei) ; Hilbert modular forms (frei) ; spherical designs (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Extremale Gitter sind bemerkenswerte Objekte der Zahlentheorie. Sie definieren viele der dichtesten bekannten Kugelpackungen, sehr gute sphärische Designs und haben häufig eine interessante Automorphismengruppe. Wichtige Beispiele sind das $\mathbb{E}_8$- und das Leech-Gitter $\Lambda_{24}$ (beide extremal unimodular), sowie das Barnes-Wall-Gitter $BW_{16}$ (extremal $2$-modular) und das Coxeter-Todd-Gitter $K_{12}$ (extremal $3$-modular).Eine faszinierende Eigenschaft gerader unimodularer (oder $p$-modularer) Gitter ist, dass ihre Theta-Reihe eine elliptische Modulform zur ganzen Modulgruppe (zur Fricke-Gruppe vom Grad $p$) ist. Da die Theorie der elliptischen Modulformen weit entwickelt ist, liefert dies viele Eigenschaften für Gitter. So kann man zum Beispiel extremale Gitter als Gitter, deren Theta Reihe bei unendlich den Wert $1$ mit höchstmöglicher Ordnung annimmt, definieren.Über total reellen Zahlkörpern kann die gleiche Theorie entwickelt werden. Wir beschränken uns auf reell quadratische Zahlkörper. Wir betrchten Gitter $(\Lambda,Q)$ über einem Zahlkörper, unterschieden in drei Typen (je nachdem, ob Strahl- und Klassenzahl übereinstimmen, und ob das untersuchte Gitter unimodular oder Spur-unimodular ist). Zu einem total positiven Körperelement $\alpha$ können wir ein positiv definites $\mathbb{Z}$-Gitter $(\Lambda,tr(\alpha Q))$, genannt Spurgitter, definieren. Wir ordnen unseren Gittern jeweils zwei Spurgitter $(\Lambda_1,Q_1)$ und $(\Lambda_2,Q_2)$, abhängig vom Typ, zu.Diese beschreiben $(\Lambda,Q)$ eindeutig.Damit können wir die Theta-Reihe von $(\Lambda,Q)$ als gemeinsame Theta-Reihe der beiden Spurgitter definieren. Diese ist zunächst eine formale Potenzreihe in zwei Variablen $q_1$ und $q_2$. Durch passende Interpretationen von $q_1$ und $q_2$ ist diese eine Hilbertsche Modulform zur vollen Hilbertschen Modulgruppe.In gleicher Weise kann eine Hilbertsche Modulform $f$ in einer $q$-Erweiterung geschrieben werden, d.h. als formale Potenzreihe in $q_1$ und $q_2$. Dies ermöglichte eine gute Implementierung in Computeralgebrasysteme. Außerdem können die Koeffizienten mit Hilfe der lexikographischen Ordnung geordnet werden. Da der Raum der Modulformen gleichen Gewichts endlichdimensional ist, kann man eine eindeutige extremale Modulform auszeichnen, die wieder bei unendlich den Wert $1$ mit höchstmöglicher Ordnung besitzt. Ein Gitter heißt extremal, wenn seine Thetareihe eine extremale Hilbertsche Modulform ist. In meiner Arbeit konstruiere, untersuche und klassifiziere ich extremale Gitter über den Zahlkörpern $\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$, $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ und $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$. Dafür erweitere ich unter anderem eine Methode von Bachoc und Venkov. Diese Methode beruht auf der Berechnung sogenannter Konfigurationszahlen, welche zu einem festen Vektor die Anzahl der Gittervektoren gleicher Länge mit gleichem Skalarprodukt mit diesem Vektor angeben. Dabei nutzt man nicht das konkrete Gitter, sondern erhält Gleichungen an die Konfigurationszahlen von sphärischen Thetareihen. Diese sind Hilbertsche Modulformen, also können aus der bekannten Ringstruktur der Modulformen Gleichungen an die Konfigurationszahlen bestimmt werden. Häufig ist es möglich, alle extremalen Gitter mit vorgegebenen Konfigurationszahlen zu berechnen.

Extremal lattices are remarkable objects of number theory. They define many of the densest known sphere packings, good spherical designs, and often have an interesting automorphism group. Important examples are the $\mathbb{E}_8$--lattice and the Leech lattice (both extremal unimodular), as well al the Barnes Wall lattice $BW_{16}$ (extremal $2$-modular) and the Coxeter Todd lattice (extremal $3$-modular). A fascinating property of even unimodular (or $p$-modular) lattice is that their theta series is an elliptic modular form under the whole modular group (or over the Fricke group of degree $p$). Since the theory of elliptic modular forms is well developed, this leads to many properties of lattices. So one can define extremal lattices as lattices whose theta series take the value $1$ at infinity with the highest order.Over totally real number fields, one can develop the same theory. We just consider the case of real quadratic number fields. We look at lattices $(\Lambda,Q)$ over a number field which are distinguished into three types (depending on whether narrow and class number are the same, and whether the lattice is unimodular or trace unimodular). To a totally positive field element $\alpha$ we define a positive definite $\mathbb{Z}$-lattice $(\Lambda,tr(\alpha Q))$, called trace lattices. To our lattice we associate two trace lattices $(\Lambda_1,Q_1)$ and $(\Lambda_2,Q_2)$, depending on the type. These two lattices describe $(\Lambda,Q)$ uniquely.We can thus define the theta series of $(\Lambda,Q)$ as the merged theta series of the two trace lattices. This is first of all a formal power series in two variables $q_1$ and $q_2$. By suitable interpretation, this is a Hilbert modular form of level one.In the same way a Hilbert modular form $f$ can be written in a $q$-expansion, i.e. as a formal power series in $q_1$ and $q_2$. This give rise to computational implementations. Also we can order the coefficients using the lexicographic ordering. Since the space of Hilbert modular forms of given weight is finite dimensional, on can identify a unique extremal modular form, which again has the value $1$ at infinity with the highest order.A lattice is called extremal if its theta series is an extremal Hilbert modular form. In this thesis I construct, discuss, and classify extremal lattices over the number fields $\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$, $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ and $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$. Also I extend a method by Bachoc and Venkov. This method is based on calculations of so-called configuration numbers, which give the number of lattice vectors of the same length and scalar product with a fixed lattice vector. It does not use the concrete lattice, but one can extract equations of the configuration numbers from spherical theta series. They are Hilbert modular forms, hence the known ring structure of the modular forms yields equations of the configuration numbers. Often it is possible to compute all extremal lattices with given configuration numbers.

OpenAccess:
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Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis

Format
online

Sprache
English

Externe Identnummern
HBZ: HT019259573

Interne Identnummern
RWTH-2017-02268
Datensatz-ID: 685470

Beteiligte Länder
Germany

 GO


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The record appears in these collections:
Document types > Theses > Ph.D. Theses
Faculty of Mathematics, Computer Science and Natural Sciences (Fac.1) > Department of Mathematics
Publication server / Open Access
Public records
Publications database
110000
114820
114710

 Record created 2017-02-22, last modified 2023-04-08