Mathematical modeling and numerical methods for non-classical transport in correlated media

Krycki, Kai; Turpault, Rodolphe; Frank, Martin

doi:HT019007466

Mathematical modeling and numerical methods for non-classical transport in correlated media = Mathematische Modellierung und numerische Methoden für nichtklassischen Transport in korrelierten Medien

Krycki, Kai

2015 & 2016

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Dipl.-Math. Kai Krycki

ImpressumAachen 2015

Umfang1 Online Ressource (172 Seiten) : Diagramme

Dissertation, RWTH Aachen, 2015

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2016

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Frank, Martin (Thesis advisor) ; Turpault, Rodolphe (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2015-07-20

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2016-044965
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/658939/files/658939.pdf
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/658939/files/658939.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
non-classical transport (frei) ; non-exponential path-length distribution (frei) ; linear Boltzmann equation (frei) ; moment models, finite volume methods (frei) ; HLL schemes (frei) ; parameter estimation (frei) ; particle games (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In dieser Arbeit untersuchen wir eine neue und nichtklassische lineare Transportgleichung für den Transport von Teilchen in korrelierten Medien. Wir leiten eine zeitabhängige nichtklassische Transportgleichung her, die beliebige Pfadlängenverteilungen reproduzieren kann, im Gegensatz zur klassischen Theorie. Diese Gleichung beschreibt die Evolution der Verteilungsfunktion der Teilchen im Boltzmann-Grad Limes. Die rigorose mathematische Herleitung basiert auf Resultaten über das periodische Lorentz Gas und beruht auf einem analytischen Ausdruck für die Pfadlängenverteilung im Limes. Die Distanz s zur nächsten Kollision ist ein zusätzlicher unabhängiger Parameter der resultierenden Gleichung. Eine Monte-Carlo Studie von Pfadlängenverteilungen in homogenen aber korrelierten Medien zeigt, dass diese Gleichung auch für allgemeinere Klassen von korrelieren Medien Gültigkeit besitzt. Wir diskutieren Verallgemeinerungen dieser Gleichung und die Verbindung zu einer weiteren nicht-klassischen steady-state Transportgleichung.Im Weiteren entwickeln wir numerische Methoden für diese nicht-klassische Transportgleichung. Dazu untersuchen wir eine Variante eines Standard Finite Volumen HLL Verfahrens für Momentenmodelle dieser Gleichung. Eine detaillierte numerische Analyse zeigt, dass diese Verfahren den analytischen asymptotischen Diffusionslimes erhalten. Weiterhin erhalten diese Verfahren die konvexe Menge von erlaubten und realisierbaren Mengen. Eine Kopplung des Anfangswertes mit der vollen Lösung legt es nahe, ein iteratives Lösungsverfahren zu benutzen. Da das naive Source Iteration Verfahren im von Streuung dominierten Bereich beliebig langsam wird, nutzen wir ein sogenanntes Diffusion Synthetic Acceleration Verfahren, basierend auf der Diffusionsapproximation der nicht-klassischen Gleichung. Wir untersuchen die Kontraktionsraten mittels einer von Neumann Analyse der vollen Gleichung und der zugehörigen Momentenmodelle. Diese Analyse zeigt, dass die Kontraktion wesentlich beschleunigt werden kann.Mithilfe der akkuraten und effizienten numerischen Methoden entwickeln wir ein Verfahren zur Lösung inverser Probleme, die auf der nichtklassischen Transportgleichung basieren. Dazu formulieren wir das Problem der Parameterschätzung als ein optimales Kontrollproblem und leiten mittels des Lagrange Formalismus ein Optimalitätssystem erster Ordnung her. Dieser Formalismus basiert auf dem Kalkül der Adjungierten. Daher leiten wir die adjungierte Gleichung der nichtklassischen Transportgleichung formell her.Dann adaptieren wir die numerischen Verfahren um das Optimalitätssystem erster Ordnung zu diskretisieren. Weiterhin zeigen wir, dass diese Verfahren konsistent mit dem zugrundeliegenden diskreten Optimalitätssystem sind. Das Optimalitätssystem wird numerisch gelöst mittels eines Gradientenverfahrens. Die Ergebnisse zeigen, dass die Parameter akkurat rekonstruiert werden können mit einem vergleichbar geringen Rechenaufwand.

In this work, we investigate a new and non-classical linear transport equation for the transport of particles in correlated background media. We derive a time-dependent non-classical transport equation that is capable of reproducing arbitrary path length distributions, in contrast to the classical theory. This equation governs the distribution function of a microscopic particle game in the Boltzmann-Grad limit. This rigorous mathematical derivation is based on recent results on the periodic Lorentz gas, and it relies on an analytic expression for the distribution of free path lengths in the limit. The resulting equation has the distance s to the next collision as an additional independent variable, which makes it ``non-classical''. A Monte-Carlo study of path length distributions in homogeneous but correlated media suggests that this equation is valid for a wider class of spatially correlated media. We discuss generalizations of the resulting equation, as well as the connection to another recently proposed non-classical steady state transport equation.In the following, we develop numerical methods for this non-classical steady state transport equation. Therefore, we investigate a variation of a standard finite volume HLL method for moment models of this equation. In a detailed numerical analysis we show that these schemes preserve the analytic asymptotic limit in a diffusive scaling. Furthermore, the schemes preserve the convex set of admissible and realizable sets. A coupling of the initial value and the full solution strongly suggests to use an iterative solution method. The naive source iteration method is shown to become arbitrarily slow in the scattering dominated regime, therefore we adapt a Diffusion Synthetic Acceleration method for the classical equation based on the diffusion approximation for the non-classical equation. We investigate the contraction rates via a von Neumann analysis of the full equation and the corresponding moment models, which shows that they are significantly decreased by the acceleration method.Equipped with accurate and efficient numerical schemes, we present a method for the solution of inverse problems based on the non-classical steady state transport equation. We formulate the parameter estimation problem as an optimal control problem, and derive a first order optimality system using a Lagrange formalism. This formalism is based on adjoint calculus, therefore we formally derive the adjoint equation of the non-classical steady state transport equation. Then we adapt the numerical schemes to discretize this first order optimality system. We also show that these schemes are consistent with the underlying discrete optimality system. Numerical solutions of the optimality system are obtained using gradient based optimization methods and show that parameters can be reconstructed accurately at a reasonable computational cost.

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