Interpolation als Kernidee inner- und außermathematischer Anwendungen : mathematikdidaktische Analyse und Entwicklung von Unterrichtsmaterialien zum Kontext Computeranimation

Peters, Agnes; Filler, Andreas; Heitzer, Johanna Maria

doi:34767

Interpolation als Kernidee inner- und außermathematischer Anwendungen : mathematikdidaktische Analyse und Entwicklung von Unterrichtsmaterialien zum Kontext Computeranimation = Interpolation as a basic idea of inner- and extra-mathematical applications : didactical analysis and design of teaching materials for computer animation

Peters, Agnes

2016

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Diplom-Gymnasiallehrerin Agnes Peters aus Heinsberg

ImpressumAachen 2016

Umfang1 Online-Ressource (xi, 243 Seiten) : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen, 2016

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Heitzer, Johanna Maria (Thesis advisor) ; Filler, Andreas (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2016-04-05

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2016-030301
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/572865/files/572865.pdf
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/572865/files/572865.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Mathematik (frei) ; Interpolation (frei) ; Spline (frei) ; Kurve (frei) ; Bézierkurve (frei) ; Computeranimation (frei) ; Keyframing (frei) ; Mathematikunterricht (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Verfahren zur Approximation von Funktionen auf Grundlage diskreter Daten sind sowohl außer- als auch innermathematisch von großer Bedeutung. In außermathematischen Anwendungen sind oftmals nur diskrete Daten gegeben, denen ein unbekannter funktionaler Zusammenhang zugrunde liegt. Innermathematisch werden solche Verfahren verwendet, um komplizierte funktionale Zusammenhänge durch einfachere Näherungsfunktionen zu beschreiben. Mit der Interpolation greift diese Arbeit neben der Regression eines der wichtigsten Teilthemen der Approximation auf. Die Grundidee ist, eine Näherungsfunktion zu bestimmen, die die gegebenen Daten exakt annimmt. Thematisiert werden im Rahmen dieser Arbeit ausschließlich Verfahren, die mit Polynomfunktionen arbeiten wie die Polynom- und Hermite-Interpolation und die Interpolation mit linearen und kubischen Splines sowie kubischen Hermite-Splines. Diese werden in Anwendungen sehr häufig verwendet und stellen einen unmittelbaren Bezug zum Mathematikunterricht her. Inhaltlich knüpft das Thema an die sogenannten Steckbriefaufgaben des Analysisunterrichts an. Neben Gleichungssystemen und Polynomfunktionen gehört dabei vor allem der Ableitungsbegriff zum relevanten mathematischen Handwerkszeug. Darüber hinaus macht insbesondere die anwendungsorientierte Perspektive, die bei Interpolationsproblemen stets eine große Rolle spielt, das Thema für den Mathematikunterricht interessant. Die Behandlung realistischer Anwendungen trägt zu einem umfassenden Bild der Mathematik bei. Aus diesem Grund ist sie in den Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz fest verankert. Problematisch ist dabei jedoch, dass es an authentischen, auf Schülerniveau zugänglichen Anwendungen mangelt. In den gängigen anwendungsorientierten Aufgaben des Analysisunterrichts sind zudem, anders als in realen Anwendungen, meist konkrete Funktionen vorgegeben, deren Modellcharakter jedoch nur selten thematisiert wird. Ziel dieser Arbeit ist es deshalb, das Potential des Themas Interpolation für den Mathematikunterricht im Hinblick auf die Vermittlung eines adäquaten Bildes der Mathematik und ihrer Anwendungen aufzuzeigen. Darüber hinaus soll dem Mathematikunterricht mit der Animationstechnik Keyframing ein realistisches und neues Anwendungsfeld zugänglich gemacht werden. Kernidee dieser Technik ist die Interpolation der vielen für eine Animation notwendigen Einzelbilder auf Grundlage weniger Schlüsselbilder. Als interdisziplinäres Anwendungsfeld der Mathematik, Informatik, Physik und Kunst sowie durch den unmittelbaren Bezug zu den Alltagserfahrungen der Schülerinnen und Schüler ist das Keyframing als Unterrichtsgegenstand authentisch, anschaulich und motivierend. Zur Beschreibung der Bewegung von Objekten verwendet man sinnvollerweise Kurven und ihre Parameterdarstellungen, die jedem Zeitpunkt die Position des Objekts zuordnen. Der Kontext motiviert somit die Auseinandersetzung mit Kurven und Parameterdarstellungen und unterstützt neben der statischen vor allem die dynamische Sichtweise auf den Kurvenbegriff. Insgesamt werden dadurch mit dem Funktions- und Ableitungsbegriff auf der einen Seite und Parameterdarstellungen und Gleichungssystemen auf der anderen Seite zentrale Themen der Analysis und linearen Algebra bzw. analytischen Geometrie miteinander vernetzt. Mit Blick auf den Mathematikunterricht wird in dieser Dissertation das relevante, mathematische Hintergrundwissen für Lehrkräfte dargestellt. Basierend auf den Erfahrungen aus Schülerworkshops an der RWTH Aachen werden vor diesem Hintergrund Vorschläge und Materialien zur Behandlung des Themas Keyframing vorgestellt. Dabei werden mögliche Herangehensweisen und Schwerpunkte, vor allem aber konkrete Aufgabenstellungen und Beispiele aufgezeigt. Zum Erkunden der mathematischen Zusammenhänge wurden zudem GeoGebra- und Python-Dateien erstellt. Besonders motivierend ist für Schülerinnen und Schüler, dass sie das Erlernte in Programmen wie Synfig, einem 2D-Animationsprogramm, umsetzen können.

Methods for approximating functions based on discrete data play an important role in extra-mathematical as well as inner-mathematical applications. Often, in extra-mathematical contexts only discrete data are given which represent a number of values of an unknown function. Inner-mathematically, such methods are used to describe complicated functional relations through simpler approximation functions. This doctoral thesis discusses one of the most important subthemes of approximation techniques for functional relations, namely interpolation. The basic idea is to compute a function which assumes the given values exactly. In this thesis only methods that use polynomial functions are discussed because they are commonly used and directly linked to mathematics teaching at school. These include the polynomial and Hermite interpolation, the interpolation with linear and cubic splines and with cubic Hermite splines. The topic links to the so-called "Steckbriefaufgaben" from analysis lessons. In addition to linear equation systems and polynomial functions, derivatives belong to the relevant mathematical tools. Beyond this, especially the applied perspective, which is always present in interpolation problems, makes the topic interesting for educational tasks. The look at applications supports an appropriate image of mathematics and is therefore required by the national standards of the KMK. However, there is a lack of authentic problems that can be solved by pupils. Additionally, in contrast to real situations the application-oriented exercises typically dealt with in analysis lessons start with concrete given functions whose model character is however rarely discussed. Therefore, it is the aim of this thesis to point out the potential of the mathematical idea of interpolation to convey an adequate image of mathematics and its applications. Furthermore, an animation technique called Keyframing is made accessible to educational tasks. The basic idea of this method is the interpolation of the numerous frames necessary for an animation based on a few keyframes. As an interdisciplinary context of mathematics, informatics, physics and arts and because of its direct reference to everyday experiences Keyframing is an authentic, illustrative and motivating subject. Naturally, curves and their parametric forms are used for the description of the movements of objects. Thus, the context motivates the examination of curves and their parametric representations and supports especially the dynamic perspective on curves. In summary, the concepts of functions and derivatives on the one hand and parametric representations and equation systems on the other hand as central themes of analysis, linear algebra and analytic geometry are linked. Regarding mathematical lessons, this thesis provides the relevant mathematical background for teachers. Based on experiences from workshops with pupils at RWTH Aachen University a learning environment for Keyframing is introduced. Possible approaches and focuses are pointed out alongside concrete tasks and examples. Furthermore, GeoGebra and Python files have been created for exploring the mathematical contents. The possibility to use the mathematical knowledge for generating an animation in a program like Synfig is particularly motivating for pupils.

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